ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 4.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:

1) \(b = 18 \text{ см}, c = 22 \text{ см}, \alpha = 76°\);

2) \(a = 20 \text{ см}, b = 15 \text{ см}, \gamma = 104°\).

1) \(a^2 = 324 + 484 — 2 \cdot 18 \cdot 22 \cdot 0.24 = 617.92\), \(a \approx 25 \text{ (см)}\). \(\frac{25}{\sin 76^\circ} = \frac{18}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \beta = \frac{18 \sin 76^\circ}{25} \approx 0.698 \Rightarrow \beta \approx 44^\circ\). \(\gamma = 180^\circ — 44^\circ — 76^\circ = 60^\circ\).
2) \(c^2 = 400 + 225 + 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 0.24 = 769\), \(c \approx 28 \text{ (см)}\). \(\frac{28}{\sin 104^\circ} = \frac{15}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \beta = \frac{15 \sin 104^\circ}{28} \approx 0.52 \Rightarrow \beta \approx 31^\circ\). \(\alpha = 180^\circ — 31^\circ — 104^\circ = 45^\circ\).

Для решения первой задачи, мы последовательно применяем теорему косинусов и теорему синусов, а также свойство суммы углов треугольника.
Первым шагом мы используем теорему косинусов для нахождения длины стороны \(a\). Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула имеет вид: \(a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \cos A\), где \(a, b, c\) — длины сторон треугольника, а \(A\) — угол, противолежащий стороне \(a\). В данном случае, нам даны значения, которые соответствуют \(b=18\), \(c=22\), и косинус угла \(A\) (который мы обозначим как \(\alpha\)) равен \(0.24\). Подставляем эти значения в формулу:
Сначала возведем в квадрат длины сторон \(b\) и \(c\):
\(b^2 = 18^2 = 18 \times 18 = 324\). Это квадрат первой из двух известных сторон.
\(c^2 = 22^2 = 22 \times 22 = 484\). Это квадрат второй из двух известных сторон.
Далее, вычислим произведение \(2bc \cos \alpha\):
\(2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha = 2 \cdot 18 \cdot 22 \cdot 0.24\).
Выполним умножение поэтапно:
Сначала умножим первые два числа: \(2 \times 18 = 36\).
Затем умножим полученный результат на третье число: \(36 \times 22 = 792\).
Наконец, умножим полученное произведение на косинус угла: \(792 \times 0.24\). Для выполнения этого умножения десятичных чисел: \(792 \times 24 = 19008\), и так как у нас два знака после запятой в \(0.24\), результат будет \(190.08\).
Теперь подставим все вычисленные значения обратно в формулу теоремы косинусов:
\(a^2 = 324 + 484 — 190.08\).
Выполним сложение первых двух членов:
\(324 + 484 = 808\).
Затем выполним вычитание:
\(a^2 = 808 — 190.08 = 617.92\).
Таким образом, квадрат длины стороны \(a\) равен \(617.92\).
Чтобы найти саму длину стороны \(a\), необходимо извлечь квадратный корень из полученного значения:
\(a = \sqrt{617.92}\).
Приблизительное значение квадратного корня из \(617.92\) составляет около \(24.858\). В соответствии с предоставленным примером, это значение округляется до \(25\). Таким образом, \(a \approx 25 \text{ (см)}\).

Вторым шагом для первой задачи является нахождение угла \(\beta\) с использованием теоремы синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является постоянной величиной для всех сторон и углов данного треугольника. Формула имеет вид: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). В нашем случае, мы знаем сторону \(a \approx 25\) и противолежащий ей угол, который в примере обозначен как \(76^\circ\). Также мы знаем сторону \(b=18\) и ищем противолежащий ей угол \(\beta\).
Составим пропорцию согласно теореме синусов:
\(\frac{25}{\sin 76^\circ} = \frac{18}{\sin \beta}\).
Чтобы найти \(\sin \beta\), мы можем перемножить крест-накрест и выразить \(\sin \beta\):
\(25 \cdot \sin \beta = 18 \cdot \sin 76^\circ\).
Отсюда: \(\sin \beta = \frac{18 \cdot \sin 76^\circ}{25}\).
Сначала найдем значение \(\sin 76^\circ\). Используя калькулятор, \(\sin 76^\circ \approx 0.9703\).
Теперь подставим это значение в выражение для \(\sin \beta\):
\(\sin \beta = \frac{18 \cdot 0.9703}{25}\).
Выполним умножение в числителе: \(18 \times 0.9703 = 17.4654\).
Затем выполним деление: \(\sin \beta = \frac{17.4654}{25} \approx 0.698616\).
В примере это значение округлено до \(0.698\). Таким образом, \(\sin \beta \approx 0.698\).
Чтобы найти сам угол \(\beta\), мы используем обратную функцию синуса (арксинус):
\(\beta = \arcsin(0.698)\).
Приблизительное значение \(\arcsin(0.698)\) составляет около \(44.26^\circ\). В соответствии с примером, это значение округляется до \(44^\circ\). Таким образом, \(\beta \approx 44^\circ\).

Третьим шагом для первой задачи является нахождение третьего угла \(\gamma\). Мы знаем, что сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна \(180^\circ\). У нас уже известны два угла: первый угол (обозначенный в примере как \(76^\circ\)) и угол \(\beta \approx 44^\circ\).
Следовательно, для нахождения угла \(\gamma\) (который в примере обозначен как \(\gamma\)), мы вычитаем сумму двух известных углов из \(180^\circ\):
\(\gamma = 180^\circ — 44^\circ — 76^\circ\).
Сначала сложим известные углы: \(44^\circ + 76^\circ = 120^\circ\).
Затем вычтем эту сумму из \(180^\circ\):
\(\gamma = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).
Таким образом, третий угол треугольника \(\gamma = 60^\circ\).

Теперь перейдем ко второй задаче, которая также включает применение теоремы косинусов и теоремы синусов.
Первым шагом для второй задачи мы используем теорему косинусов для нахождения длины стороны \(c\). Формула теоремы косинусов для стороны \(c\) имеет вид: \(c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos C\). В данном случае, нам даны значения, соответствующие \(a=20\), \(b=15\). Обратите внимание на знак в выражении: \(+2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 0.24\). Это означает, что \(-2ab \cos C = +2ab \cdot 0.24\), из чего следует, что \(\cos C = -0.24\). То есть, угол \(C\) (который мы обозначим как \(\gamma\)) является тупым, поскольку его косинус отрицателен.
Подставляем эти значения в формулу:
Сначала возведем в квадрат длины сторон \(a\) и \(b\):
\(a^2 = 20^2 = 20 \times 20 = 400\).
\(b^2 = 15^2 = 15 \times 15 = 225\).
Далее, вычислим произведение \(2ab \cos \gamma\). Поскольку в исходном выражении стоит плюс, а в формуле теоремы косинусов минус, это указывает на то, что \(\cos \gamma = -0.24\).
\(2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma = 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot (-0.24)\).
Однако, в примере дано \(+2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 0.24\), что эквивалентно \(-2ab \cos \gamma\), если \(\cos \gamma = -0.24\). Если же мы строго следуем записи примера, то фактически мы вычисляем \(a^2 + b^2 + (\text{некое значение})\). В контексте теоремы косинусов, если мы имеем \(c^2 = a^2 + b^2 + K\), то \(K = -2ab \cos \gamma\). Если \(K = +2ab \cdot 0.24\), то \(-2ab \cos \gamma = +2ab \cdot 0.24\), что приводит к \(\cos \gamma = -0.24\).
Выполним умножение:
\(2 \times 20 = 40\).
\(40 \times 15 = 600\).
\(600 \times 0.24\). Для выполнения этого умножения: \(600 \times 24 = 14400\), и так как у нас два знака после запятой в \(0.24\), результат будет \(144\).
Теперь подставим все вычисленные значения обратно в выражение для \(c^2\):
\(c^2 = 400 + 225 + 144\).
Выполним сложение:
\(400 + 225 = 625\).
Затем сложим с последним членом:
\(c^2 = 625 + 144 = 769\).
Таким образом, квадрат длины стороны \(c\) равен \(769\).
Чтобы найти саму длину стороны \(c\), необходимо извлечь квадратный корень из полученного значения:
\(c = \sqrt{769}\).
Приблизительное значение квадратного корня из \(769\) составляет около \(27.73\). В соответствии с предоставленным примером, это значение округляется до \(28\). Таким образом, \(c \approx 28 \text{ (см)}\).

Вторым шагом для второй задачи является нахождение угла \(\beta\) с использованием теоремы синусов. Мы используем ту же формулу: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\). В нашем случае, мы знаем сторону \(c \approx 28\) и противолежащий ей угол, который в примере обозначен как \(104^\circ\). Также мы знаем сторону \(b=15\) и ищем противолежащий ей угол \(\beta\).
Составим пропорцию согласно теореме синусов:
\(\frac{28}{\sin 104^\circ} = \frac{15}{\sin \beta}\).
Чтобы найти \(\sin \beta\), мы можем перемножить крест-накрест и выразить \(\sin \beta\):
\(28 \cdot \sin \beta = 15 \cdot \sin 104^\circ\).
Отсюда: \(\sin \beta = \frac{15 \cdot \sin 104^\circ}{28}\).
Сначала найдем значение \(\sin 104^\circ\). Используя калькулятор, \(\sin 104^\circ \approx 0.9703\).
Теперь подставим это значение в выражение для \(\sin \beta\):
\(\sin \beta = \frac{15 \cdot 0.9703}{28}\).
Выполним умножение в числителе: \(15 \times 0.9703 = 14.5545\).
Затем выполним деление: \(\sin \beta = \frac{14.5545}{28} \approx 0.519803\).
В примере это значение округлено до \(0.52\). Таким образом, \(\sin \beta \approx 0.52\).
Чтобы найти сам угол \(\beta\), мы используем обратную функцию синуса (арксинус):
\(\beta = \arcsin(0.52)\).
Приблизительное значение \(\arcsin(0.52)\) составляет около \(31.33^\circ\). В соответствии с примером, это значение округляется до \(31^\circ\). Таким образом, \(\beta \approx 31^\circ\).

Третьим шагом для второй задачи является нахождение третьего угла \(\alpha\). Мы снова используем свойство, что сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна \(180^\circ\). У нас уже известны два угла: первый угол (обозначенный в примере как \(104^\circ\)) и угол \(\beta \approx 31^\circ\).
Следовательно, для нахождения угла \(\alpha\) (который в примере обозначен как \(\alpha\)), мы вычитаем сумму двух известных углов из \(180^\circ\):
\(\alpha = 180^\circ — 31^\circ — 104^\circ\).
Сначала сложим известные углы: \(31^\circ + 104^\circ = 135^\circ\).
Затем вычтем эту сумму из \(180^\circ\):
\(\alpha = 180^\circ — 135^\circ = 45^\circ\).
Таким образом, третий угол треугольника \(\alpha = 45^\circ\).