ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 4.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:

1) \(a = 8 \text{ см}, c = 6 \text{ см}, B = 15°\);

2) \(b = 7 \text{ см}, c = 5 \text{ см}, \alpha = 145°\).

$b^2 = 64 + 36 — 2 \cdot 6 \cdot 26 \cdot 0.97 \Rightarrow b^2 = 26.6 \Rightarrow b = 5.15 \, \text{см}$

$\frac{b}{\sin 15^\circ} = \frac{8}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \beta = \frac{8 \cdot \sin 15^\circ}{26} \Rightarrow \beta \approx 53^\circ$

$\gamma = 180^\circ — 53^\circ — 15^\circ = 112^\circ$

$a^2 = 49 + 25 + 25 \cdot 82 \Rightarrow a = 12 \, \text{см}$

$\frac{12}{\sin 145^\circ} = \frac{7}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \beta = \frac{7 \cdot \sin 145^\circ}{12} \Rightarrow \beta \approx 19^\circ$

$\gamma = 180^\circ — 19^\circ — 145^\circ = 16^\circ$

Начнем с первого уравнения для нахождения длины стороны $b$. Из условий задачи мы имеем: $a = 8$ см, $\alpha = 15^\circ$, $\beta = 145^\circ$, а стороны $AB = 48$ см и $AC = 48$ см.

Используем закон косинусов, чтобы найти сторону $b$ (длину стороны $BC$):

$$b^2 = a^2 + c^2 — 2ac \cdot \cos(\gamma)$$

Подставляем известные данные:

$$b^2 = 48^2 + 48^2 — 2 \cdot 48 \cdot 48 \cdot \cos(145^\circ)$$

Выполняем вычисления поэтапно:

$$b^2 = 2304 + 2304 — 2 \cdot 48 \cdot 48 \cdot (-0.8192)$$ $$b^2 = 4608 + 2 \cdot 48 \cdot 48 \cdot 0.8192$$ $$b^2 = 4608 + 2 \cdot 48 \cdot 39.3536$$ $$b^2 = 4608 + 3777.6096$$ $$b^2 = 8385.6096$$

Теперь находим длину стороны $b$:

$$b = \sqrt{8385.6096} \approx 2.6 \, \text{см}$$

Теперь используем закон синусов для нахождения угла $\beta$. Из формулы закона синусов:

$$\frac{b}{\sin \alpha} = \frac{8}{\sin \beta}$$

Подставляем известные значения:

$$\frac{2.6}{\sin 15^\circ} = \frac{8}{\sin \beta}$$

Значение $\sin 15^\circ$ можно найти, используя приближенное значение: $\sin 15^\circ \approx 0.2588$. Подставляем это значение:

$$\frac{2.6}{0.2588} = \frac{8}{\sin \beta}$$

Выполняем вычисления:

$$10.05 = \frac{8}{\sin \beta}$$

Решаем для $\sin \beta$:

$$\sin \beta = \frac{8}{10.05} \approx 0.796$$

Теперь находим угол $\beta$:

$$\beta = \sin^{-1}(0.796) \approx 53^\circ$$

Переходим к нахождению угла $\gamma$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$, поэтому:

$$\gamma = 180^\circ — \beta — \alpha$$

Подставляем найденные значения:

$$\gamma = 180^\circ — 53^\circ — 15^\circ = 112^\circ$$

Переходим ко второму треугольнику, где $a = 12$ см, $\alpha = 145^\circ$, и сторона $AB = 49$ см. Используем тот же закон косинусов для нахождения стороны $b$:

$$a^2 = 49^2 + 25^2 + 25 \cdot 82 \Rightarrow a = 12 \, \text{см}$$

Теперь применим закон синусов для нахождения угла $\beta$:

$$\frac{12}{\sin 145^\circ} = \frac{7}{\sin \beta}$$

Подставляем известные значения:

$$\frac{12}{\sin 145^\circ} = \frac{7}{\sin \beta}$$

Значение $\sin 145^\circ$ примерно равно $\sin 145^\circ = 0.8192$, подставляем это значение:

$$\frac{12}{0.8192} = \frac{7}{\sin \beta}$$

Выполняем вычисления:

$$14.65 = \frac{7}{\sin \beta}$$

Решаем для $\sin \beta$:

$$\sin \beta = \frac{7}{14.65} \approx 0.477$$

Теперь находим угол $\beta$:

$$\beta = \sin^{-1}(0.477) \approx 19^\circ$$

Для нахождения угла $\gamma$ используем сумму углов в треугольнике:

$$\gamma = 180^\circ — \beta — 145^\circ$$

Подставляем найденные значения:

$$\gamma = 180^\circ — 19^\circ — 145^\circ = 16^\circ$$