ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 4.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон:

1) \(a = 23 \text{ см}, c = 30 \text{ см}, \gamma = 102°\);

2) \(a = 18 \text{ см}, b = 25 \text{ см}, \alpha = 36°\).

$$\frac{23}{\sin \alpha} = \frac{30}{\sin 102^\circ} \Rightarrow \sin \alpha = 0.75 \Rightarrow \alpha = 49^\circ$$ $$\beta = 180^\circ — 102^\circ — 40^\circ = 29^\circ$$ $$b = \frac{30}{\sin 20^\circ} \cdot \sin 102^\circ \Rightarrow b = 14.6 \text{ см}$$

$$\frac{b}{\sin 36^\circ} = \frac{25}{\sin \beta} \Rightarrow \sin \beta = \frac{25 \cdot \sin 36^\circ}{b} \Rightarrow \beta = 55^\circ$$ $$\gamma = 180^\circ — 36^\circ — 55^\circ = 89^\circ$$ $$c = \frac{18}{\sin 80^\circ} \cdot \sin 36^\circ \Rightarrow c = 30 \text{ см}$$

Дано:

$$\frac{23}{\sin \alpha} = \frac{30}{\sin 102^\circ}$$

Нужно найти угол $\alpha$.

Переносим значения на одну сторону уравнения:

$$\frac{23}{\sin \alpha} = \frac{30}{\sin 102^\circ} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{23 \cdot \sin 102^\circ}{30}$$

Вычисляем значение $\sin 102^\circ$. Из таблицы или с помощью калькулятора, $\sin 102^\circ \approx 0.9781$.

Подставляем значение $\sin 102^\circ$ в уравнение:

$$\sin \alpha = \frac{23 \cdot 0.9781}{30} = \frac{22.5143}{30} \approx 0.7505$$

Теперь находим угол $\alpha$ с помощью обратной функции синуса:

$$\alpha = \arcsin(0.7505) \approx 49^\circ$$

Следовательно, угол $\alpha \approx 49^\circ$.

Далее, вычислим угол $\beta$. Из условия задачи:

$$\beta = 180^\circ — 102^\circ — 40^\circ = 29^\circ$$

Теперь вычислим длину стороны $b$, используя теорему о синусах. Для этого:

$$b = \frac{30}{\sin 20^\circ} \cdot \sin 102^\circ$$

Сначала находим $\sin 20^\circ$. Из таблицы или с помощью калькулятора, $\sin 20^\circ \approx 0.3420$.

Подставляем значение $\sin 20^\circ$ и $\sin 102^\circ$ в формулу:

$$b = \frac{30}{0.3420} \cdot 0.9781 = 87.719 \cdot 0.9781 \approx 14.6 \text{ см}$$

Следовательно, длина стороны $b \approx 14.6 \text{ см}$.

Теперь вычислим угол $\gamma$. Из условия задачи:

$$\gamma = 180^\circ — 36^\circ — 55^\circ = 89^\circ$$

Теперь вычислим длину стороны $c$, используя теорему о синусах:

$$c = \frac{18}{\sin 80^\circ} \cdot \sin 36^\circ$$

Сначала находим $\sin 80^\circ$. Из таблицы или с помощью калькулятора, $\sin 80^\circ \approx 0.9848$.

Находим $\sin 36^\circ$. Из таблицы или с помощью калькулятора, $\sin 36^\circ \approx 0.5878$.

Подставляем значения в формулу:

$$c = \frac{18}{0.9848} \cdot 0.5878 = 18.294 \cdot 0.5878 \approx 30 \text{ см}$$

Следовательно, длина стороны $c \approx 30 \text{ см}$.