ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что \(AC = b\), \(ZA = a\), \(ZB = В\). Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:

\( S = \frac{1}{2}ab \sin C \)

где \( a = ZA \), \( b = AC \), \( C = \alpha + \beta \).

Используя закон синусов, получаем:

\( \sin A = \frac{a \sin B}{b} \)

Подставляем в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2}b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta) \cdot \frac{1}{\sin B} \)

Упрощаем и получаем:

\( S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta} \)

Ответ: \( \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta} \)

Для нахождения площади треугольника ABC, где \( AC = b \), \( ZA = a \) и \( ZB = B \), воспользуемся формулой для площади треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь треугольника можно выразить как:

\( S = \frac{1}{2}ab \sin C \)

где \( a \) и \( b \) — длины сторон, а \( C \) — угол между ними. В нашем случае угол \( C \) равен \( \alpha + \beta \).

1. По закону синусов мы знаем, что:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

где \( A \), \( B \) и \( C \) — углы, противолежащие сторонам \( a \), \( b \) и \( c \) соответственно.

2. Из этого закона можем выразить синус угла \( A \):

\( \sin A = \frac{a \sin B}{b} \)

3. Теперь подставим \( C \) в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha + \beta) \)

4. Используем формулу для синуса суммы углов:

\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)

5. Подставляем это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2}ab (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \)

6. Теперь выразим площадь через \( \sin A \):

\( S = \frac{1}{2}b^2 \sin \alpha \cdot \frac{a \sin B}{b} \)

7. Упрощаем выражение:

\( S = \frac{1}{2}b a \sin \alpha \sin B \)

8. Подставляем \( \sin B \) через \( \sin(\alpha + \beta) \):

\( S = \frac{1}{2}b^2 \sin \alpha \cdot \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta} \)

9. Упрощаем и получаем окончательную формулу для площади:

\( S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta} \)

Ответ: \( \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta} \)