ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике АВС угол \(А\) равен \(а\), а высоты \(BD\) и \(CE\) равны соответственно \(h_1\) и \(h_2\). Найдите площадь треугольника АВС.

Площадь треугольника \(ABC\) можно найти, используя высоты \(h_1\) и \(h_2\) и угол \(A\). Формула площади через высоты выглядит так:

\( S = \frac{h_1 \cdot h_2}{2 \cdot \sin A} \)

Ответ: \( \frac{h_1 h_2}{2 \sin a} \)

Площадь треугольника \(ABC\) можно найти, используя высоты \(BD\) и \(CE\), которые равны \(h_1\) и \(h_2\) соответственно, и угол \(A\), равный \(a\).

Сначала определим, что площадь треугольника можно выразить через высоту и основание. Площадь \(S\) треугольника можно записать как:

\( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \)

Рассмотрим высоту \(BD\), которая опущена из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Если обозначить сторону \(AC\) как \(b\), то площадь треугольника можно записать как:

\( S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1 \)

Теперь рассмотрим высоту \(CE\), которая опущена из вершины \(C\) на сторону \(AB\). Если обозначить сторону \(AB\) как \(c\), то площадь треугольника также можно выразить через эту высоту:

\( S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_2 \)

Так как обе формулы описывают одну и ту же площадь, мы можем приравнять их:

\( \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_2 \)

Упрощая, получаем:

\( b \cdot h_1 = c \cdot h_2 \)

Теперь рассмотрим связь между высотами и углом \(A\). Из тригонометрии известно, что высота может быть выражена через сторону и угол. Высота \(h_1\) связана с углом \(A\) и стороной \(b\) следующим образом:

\( h_1 = b \cdot \sin A \)

Аналогично, высота \(h_2\) связана с углом \(A\) и стороной \(c\):

\( h_2 = c \cdot \sin A \)

Теперь подставим \(h_1\) и \(h_2\) в уравнение площади. Используя одну из формул для площади, мы можем выразить её через высоты и угол:

\( S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b \cdot \sin A) = \frac{b^2 \cdot \sin A}{2} \)

Или, используя высоту \(h_2\):

\( S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot (c \cdot \sin A) = \frac{c^2 \cdot \sin A}{2} \)

Теперь, чтобы выразить площадь через обе высоты:

\( S = \frac{h_1 \cdot h_2}{2 \cdot \sin A} \)

Таким образом, мы приходим к окончательной формуле для площади треугольника \(ABC\):

\( S = \frac{h_1 h_2}{2 \sin a} \)

Ответ: \( \frac{h_1 h_2}{2 \sin a} \)