ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Отрезок \(ВМ\) — высота треугольника АВС, \(ВМ = h\), \(ZA = a\), \(\angle ABC = В\). Найдите площадь треугольника АВС.
Площадь треугольника \( ABC \) можно найти по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]
где \( a \) — основание, \( h \) — высота.
Используя тригонометрические соотношения, можно выразить \( S \) через углы:
\[
S = \frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}
\]
Таким образом, ответ: \( \frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)} \).
Пусть у нас есть треугольник \( ABC \), где \( BM \) — высота, проведенная из вершины \( B \) на основание \( AC \). Обозначим длину отрезка \( BM \) как \( h \), длину основания \( AC \) как \( a \), а угол \( \angle ABC \) как \( \beta \).
Сначала найдем площадь треугольника \( ABC \) через высоту и основание. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота
\]
Подставляя известные значения, получаем:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]
Однако, чтобы выразить площадь через углы, воспользуемся тригонометрией. По определению, высота \( h \) может быть выражена через сторону \( AC \) и угол \( \beta \):
\[
h = AC \cdot \sin(\alpha)
\]
где \( \alpha \) — угол \( \angle BAC \). Таким образом, мы можем переписать площадь \( S \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (AC \cdot \sin(\alpha))
\]
Теперь введем дополнительные соотношения. У нас есть угол \( \beta \) и угол \( \alpha \). Известно, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), поэтому:
\[
\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
\]
где \( \gamma \) — угол \( \angle ACB \). Теперь, используя формулу для площади через стороны и углы, мы можем записать:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\gamma)
\]
Известно, что \( AB = h \) и \( AC = a \). Подставляем значения:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a \cdot \sin(\gamma)
\]
Теперь выразим \( \sin(\gamma) \) через \( \alpha \) и \( \beta \):
\[
\sin(\gamma) = \sin(180^\circ — (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)
\]
Таким образом, площадь треугольника можно выразить как:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a \cdot \sin(\alpha + \beta)
\]
Теперь у нас есть два выражения для площади \( S \):
1. \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \)
2. \( S = \frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)} \)
Теперь приравняем оба выражения:
\[
\frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}
\]
Упрощая это уравнение и решая его, мы получаем требуемую формулу для площади треугольника \( ABC \):
\[
S = \frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}
\]
Таким образом, ответ: \( \frac{h^2 \sin \beta}{2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)} \).
