ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 28 см вписана окружность, центр которой соединен с вершинами треугольника. Найдите площади образовавшихся при этом треугольников.
Полупериметр треугольника равен \( p = \frac{17 + 25 + 28}{2} = 35 \, \text{см} \). Площадь треугольника вычисляется по формуле Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} =\)
\(= \sqrt{44100} = 210 \, \text{см}^2 \). Радиус вписанной окружности равен \( r = \frac{S}{p} = \frac{210}{35} = 6 \, \text{см} \). Площадь треугольника \( ABD \) составляет \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = 51 \, \text{см}^2 \), площадь треугольника \( BOC \) равна \( S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = 75 \, \text{см}^2 \), а площадь треугольника \( DOC \) составляет \( S_{DOC} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = 84 \, \text{см}^2 \). Таким образом, площади образовавшихся треугольников составляют 51 см², 75 см² и 84 см².
Для решения задачи начнем с вычисления полупериметра треугольника. Полупериметр обозначается буквой \( p \) и рассчитывается по формуле \( p = \frac{a + b + c}{2} \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — длины сторон треугольника. В нашем случае стороны равны 17 см, 25 см и 28 см, поэтому:
\( p = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35 \, \text{см} \).
Теперь, зная полупериметр, можно вычислить площадь треугольника с помощью формулы Герона, которая выглядит так: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \). Подставляя значения, получаем:
\( S = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} \).
Теперь вычислим каждое из выражений в скобках:
\( 35 — 17 = 18 \), \( 35 — 25 = 10 \), \( 35 — 28 = 7 \).
Таким образом, мы имеем:
\( S = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} \).
Сначала вычислим произведение \( 18 \cdot 10 = 180 \), затем \( 180 \cdot 7 = 1260 \), и, наконец, \( 35 \cdot 1260 = 44100 \). Теперь найдем корень из 44100:
\( S = \sqrt{44100} = 210 \, \text{см}^2 \).
Теперь перейдем к расчету радиуса вписанной окружности, который обозначается буквой \( r \). Радиус вычисляется по формуле \( r = \frac{S}{p} \). Подставляя найденные значения площади и полупериметра, получаем:
\( r = \frac{210}{35} = 6 \, \text{см} \).
Теперь нужно найти площади треугольников, образованных радиусами, соединяющими центр окружности с вершинами треугольника. Начнем с треугольника \( ABD \), площадь которого определяется по формуле \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r \). В нашем случае \( AB = 17 \, \text{см} \) и \( r = 6 \, \text{см} \):
\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = \frac{102}{2} = 51 \, \text{см}^2 \).
Теперь найдем площадь треугольника \( BOC \). Для этого используем ту же формулу, где основание будет равно \( BC \). Длина стороны \( BC \) равна 25 см, а высота равна радиусу \( r = 6 \, \text{см} \):
\( S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = \frac{150}{2} = 75 \, \text{см}^2 \).
Следующий треугольник, который мы рассматриваем, это \( DOC \). Площадь этого треугольника также рассчитывается по аналогичной формуле, где основание равно \( AC = 28 \, \text{см} \):
\( S_{DOC} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = \frac{168}{2} = 84 \, \text{см}^2 \).
Таким образом, мы получили площади образовавшихся треугольников: \( S_{ABD} = 51 \, \text{см}^2 \), \( S_{BOC} = 75 \, \text{см}^2 \) и \( S_{DOC} = 84 \, \text{см}^2 \).