ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок \(AD\) — биссектриса треугольника АВС, \(АВ = 6 \text{ см}\), \(АС = 8 \text{ см}\), \(\angle BAC = 120°\). Найдите биссектрису \(AD\).

Дано: \( AB = 6 \text{ см} \), \( AC = 8 \text{ см} \), \( \angle BAC = 120° \).

1. Находим \( BC \) по формуле косинусов:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120°) \).

Подставляем:
\( BC^2 = 6^2 + 8^2 — 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) \).
\( BC^2 = 36 + 64 + 48 = 148 \).
\( BC = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \).

2. Находим биссектрису \( AD \):
\( AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} \cdot \cos(60°) \).

Подставляем:
\( AD = \frac{2 \cdot 6 \cdot 8}{6 + 8} \cdot \frac{1}{2} \).
\( AD = \frac{96}{14} \cdot \frac{1}{2} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7} \text{ см} \).

Ответ: \( \frac{24}{7} \text{ см} \).

Дано: \( AB = 6 \text{ см} \), \( AC = 8 \text{ см} \), \( \angle BAC = 120° \).

Для нахождения длины биссектрисы \( AD \) в треугольнике \( ABC \) сначала найдем длину стороны \( BC \) с помощью закона косинусов. Закон косинусов гласит, что для любого треугольника со сторонами \( a \), \( b \), \( c \) и углом \( \gamma \) между сторонами \( a \) и \( b \) выполняется следующее соотношение:

\[
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos(\gamma)
\]

В нашем случае \( a = AB = 6 \text{ см} \), \( b = AC = 8 \text{ см} \), \( \gamma = \angle BAC = 120° \). Подставляем значения в формулу:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120°)
\]

Теперь вычислим каждую часть. Сначала найдем \( AB^2 \) и \( AC^2 \):

\[
AB^2 = 6^2 = 36
\]
\[
AC^2 = 8^2 = 64
\]

Теперь находим \( \cos(120°) \). Известно, что \( \cos(120°) = -\frac{1}{2} \). Подставим все значения в формулу для \( BC^2 \):

\[
BC^2 = 36 + 64 — 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

Теперь посчитаем \( 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \):

\[
2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -48
\]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\[
BC^2 = 36 + 64 + 48
\]

Сложим все:

\[
BC^2 = 148
\]

Теперь найдем \( BC \):

\[
BC = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}
\]

Теперь, когда мы знаем длину стороны \( BC \), можем найти длину биссектрисы \( AD \) с помощью формулы для биссектрисы. Формула для длины биссектрисы \( AD \) в треугольнике \( ABC \) выглядит следующим образом:

\[
AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} \cdot \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right)
\]

Сначала найдем \( \frac{\angle BAC}{2} \):

\[
\frac{\angle BAC}{2} = \frac{120°}{2} = 60°
\]

Теперь вычислим \( \cos(60°) \), который равен \( \frac{1}{2} \). Подставим все известные значения в формулу для \( AD \):

\[
AD = \frac{2 \cdot 6 \cdot 8}{6 + 8} \cdot \frac{1}{2}
\]

Сначала вычислим \( 6 + 8 \):

\[
6 + 8 = 14
\]

Теперь подставим это значение:

\[
AD = \frac{2 \cdot 6 \cdot 8}{14} \cdot \frac{1}{2}
\]

Вычислим \( 2 \cdot 6 \cdot 8 \):

\[
2 \cdot 6 \cdot 8 = 96
\]

Теперь подставим:

\[
AD = \frac{96}{14} \cdot \frac{1}{2}
\]

Теперь умножим:

\[
AD = \frac{96}{28}
\]

Сократим дробь:

\[
AD = \frac{24}{7} \text{ см}
\]

Ответ: \( \frac{24}{7} \text{ см} \).