ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 50 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см.

Площадь трапеции можно найти по формуле \( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \), где \( a = 10 \) см, \( b = 50 \) см.

Сначала найдем высоту \( h \). Проведем прямую через одну из вершин меньшего основания, параллельную боковой стороне.

Обозначим \( h \) как высоту. Используем теорему Пифагора для треугольника:

1. Для стороны \( AD \) (37 см):
\( h^2 + (x — 10)^2 = 37^2 \)

2. Для стороны \( BC \) (13 см):
\( h^2 + (x — 50)^2 = 13^2 \)

Решая эти уравнения, получаем \( h = 12 \) см.

Теперь подставим в формулу площади:
\( S = \frac{(10 + 50) \cdot 12}{2} = \frac{60 \cdot 12}{2} = 360 \) см².

Ответ: 360 см².

Площадь трапеции можно найти по формуле \( S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \), где \( a = 10 \) см — меньшее основание, \( b = 50 \) см — большее основание.

Чтобы найти высоту \( h \), проведем через один из концов меньшего основания \( AB \) прямую, параллельную боковой стороне \( BC \).

Обозначим точки: \( A \) и \( B \) — концы меньшего основания, \( C \) и \( D \) — концы большего основания. Боковые стороны \( AD = 37 \) см и \( BC = 13 \) см. Проведем прямую через точку \( A \), которая пересечет боковую сторону \( AD \) в точке \( E \).

Обозначим длину отрезка \( AE \) как \( h \) — высоту трапеции. Теперь рассмотрим треугольник \( ABE \). В этом треугольнике:

1. Длина \( AB = 10 \) см.
2. Длина \( BE = b — a = 50 — 10 = 40 \) см.

По теореме Пифагора для треугольника \( ABE \) имеем:

\( AE^2 + BE^2 = AB^2 \)

Подставим известные значения:

\( h^2 + 40^2 = 37^2 \)

Раскроем квадрат:

\( h^2 + 1600 = 1369 \)

Теперь выразим \( h^2 \):

\( h^2 = 1369 — 1600 \)

Получаем:

\( h^2 = -231 \)

Это значение не может быть отрицательным, следовательно, нужно пересчитать высоту через другую боковую сторону. Рассмотрим боковую сторону \( AD = 37 \) см.

Теперь воспользуемся другой формой:

\( h^2 + (x — 10)^2 = 13^2 \)

где \( x \) — это длина отрезка от точки \( E \) до точки \( D \).

Также у нас есть:

\( h^2 + (x — 50)^2 = 37^2 \)

Теперь решим систему уравнений.

Подставим значения в первое уравнение:

\( h^2 + (x — 10)^2 = 169 \)

Во втором уравнении:

\( h^2 + (x — 50)^2 = 1369 \)

Теперь выразим \( h^2 \) из первого уравнения:

\( h^2 = 169 — (x — 10)^2 \)

Подставим это значение во второе уравнение:

\( 169 — (x — 10)^2 + (x — 50)^2 = 1369 \)

Раскроем скобки:

\( 169 — (x^2 — 20x + 100) + (x^2 — 100x + 2500) = 1369 \)

Упрощаем:

\( 169 — x^2 + 20x — 100 + x^2 — 100x + 2500 = 1369 \)

Сложим все подобные члены:

\( -80x + 2569 = 1369 \)

Теперь решим уравнение:

\( -80x = 1369 — 2569 \)

\( -80x = -1200 \)

\( x = 15 \)

Теперь подставим \( x \) в выражение для \( h^2 \):

\( h^2 = 169 — (15 — 10)^2 \)

\( h^2 = 169 — 5^2 \)

\( h^2 = 169 — 25 \)

\( h^2 = 144 \)

Следовательно, \( h = 12 \) см.

Теперь подставим значение высоты в формулу площади:

\( S = \frac{(10 + 50) \cdot 12}{2} = \frac{60 \cdot 12}{2} = 360 \) см².

Ответ: 360 см².