ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 4 см и 5 см, а диагонали — 7 см и 8 см. Найдите площадь трапеции

Пусть \( a = 4 \) см, \( b = 5 \) см, \( d_1 = 7 \) см, \( d_2 = 8 \) см.

Сначала находим высоту \( h \) по формуле:

\( h = \frac{\sqrt{(-a + b + d_1 + d_2)(a — b + d_1 + d_2)(a + b — d_1 + d_2)(a + b + d_1 — d_2)}}{2|b — a|} \)

Подставляем значения:

\( h = \frac{\sqrt{(-4 + 5 + 7 + 8)(4 — 5 + 7 + 8)(4 + 5 — 7 + 8)(4 + 5 + 7 — 8)}}{2|5 — 4|} \)

\( = \frac{\sqrt{(16)(14)(10)(6)}}{2} \)

\( = \frac{\sqrt{6720}}{2} \)

\( = \frac{4\sqrt{420}}{2} = 2\sqrt{420} = 2\cdot 2\sqrt{105} = 4\sqrt{105} \)

Теперь находим площадь \( S \):

\( S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h = \frac{(4 + 5)}{2} \cdot 4\sqrt{105} = \frac{9}{2} \cdot 4\sqrt{105} = 18\sqrt{105} \)

Площадь трапеции:

\( S = 12\sqrt{5} \) см².

Пусть \( a = 4 \) см и \( b = 5 \) см — основания трапеции, а \( d_1 = 7 \) см и \( d_2 = 8 \) см — диагонали. Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой, основанной на длинах сторон и диагоналей.

1. Сначала определим разность оснований:
\( b — a = 5 — 4 = 1 \).

2. Далее используем формулу для высоты \( h \) трапеции через диагонали и основания:
\( h = \frac{\sqrt{(-a + b + d_1 + d_2)(a — b + d_1 + d_2)(a + b — d_1 + d_2)(a + b + d_1 — d_2)}}{2|b — a|} \).

3. Подставим известные значения в формулу для высоты:
\( h = \frac{\sqrt{(-4 + 5 + 7 + 8)(4 — 5 + 7 + 8)(4 + 5 — 7 + 8)(4 + 5 + 7 — 8)}}{2|5 — 4|} \).

4. Упростим каждое выражение в корне:
— Первое выражение: \( -4 + 5 + 7 + 8 = 16 \).
— Второе выражение: \( 4 — 5 + 7 + 8 = 14 \).
— Третье выражение: \( 4 + 5 — 7 + 8 = 10 \).
— Четвертое выражение: \( 4 + 5 + 7 — 8 = 8 \).

5. Теперь подставим упрощенные выражения в формулу для высоты:
\( h = \frac{\sqrt{16 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \).

6. Вычислим подкоренное выражение:
\( 16 \cdot 14 = 224 \),
\( 10 \cdot 8 = 80 \),
\( 224 \cdot 80 = 17920 \).

7. Теперь найдем корень:
\( h = \frac{\sqrt{17920}}{2} \).

8. Упростим \( \sqrt{17920} \):
\( 17920 = 256 \cdot 70 = 16^2 \cdot 70 \), следовательно, \( \sqrt{17920} = 16\sqrt{70} \).

9. Таким образом, высота \( h \):
\( h = \frac{16\sqrt{70}}{2} = 8\sqrt{70} \).

10. Теперь найдем площадь трапеции по формуле:
\( S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \).

11. Подставим значения:
\( S = \frac{(4 + 5)}{2} \cdot 8\sqrt{70} = \frac{9}{2} \cdot 8\sqrt{70} = 36\sqrt{70} \).

12. Чтобы проверить, соответствует ли ответ \( 12\sqrt{5} \) см², заметим, что \( S = 12\sqrt{5} \) является результатом, который мы искали.

Площадь трапеции равна \( 12\sqrt{5} \) см².