ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вершины треугольника соединены с центром вписанной в него окружности. Проведённые отрезки разбивают данный треуголь- ник на треугольники, площади которых равны \(26 \text{ см}^2\), \(28 \text{ см}^2\) и \(30 \text{ см}^2\). Найдите стороны данного треугольника.

Сумма площадей треугольников равна \( S = 26 + 28 + 30 = 84 \) см².

Полупериметр \( p = \frac{a + b + c}{2} \). Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: \( S = r \cdot p \).

Для сторон \( a = 13 \) см, \( b = 14 \) см, \( c = 15 \) см:

\( p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \) см.

Радиус \( r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4 \) см.

Проверка площадей:
\( S_1 = \frac{13 \cdot 4}{2} = 26 \) см², \( S_2 = \frac{14 \cdot 4}{2} = 28 \) см², \( S_3 = \frac{15 \cdot 4}{2} = 30 \) см².

Ответ: 13 см, 14 см, 15 см.

Сначала определим площади треугольников, образованных отрезками, соединяющими вершины треугольника с центром вписанной окружности.

Даны площади треугольников: \( S_1 = 26 \) см², \( S_2 = 28 \) см², \( S_3 = 30 \) см². Сначала найдем общую площадь треугольника:

\[
S = S_1 + S_2 + S_3 = 26 + 28 + 30 = 84 \text{ см}^2
\]

Теперь найдем полупериметр \( p \). Сначала обозначим стороны треугольника как \( a \), \( b \) и \( c \). Полупериметр определяется как:

\[
p = \frac{a + b + c}{2}
\]

Площадь треугольника также может быть выражена через радиус вписанной окружности \( r \):

\[
S = r \cdot p
\]

Таким образом, мы можем выразить \( p \) через \( r \):

\[
p = \frac{S}{r}
\]

Теперь используем формулу для радиуса вписанной окружности. Площадь треугольника также равна:

\[
S = r \cdot p
\]

Следовательно, чтобы найти стороны \( a \), \( b \) и \( c \), нам нужно знать, как они соотносятся с площадями треугольников. Площадь каждого из треугольников, образованных отрезками, можно выразить как:

\[
S_1 = \frac{a \cdot r}{2}, \quad S_2 = \frac{b \cdot r}{2}, \quad S_3 = \frac{c \cdot r}{2}
\]

Теперь выразим радиус \( r \):

\[
r = \frac{2S_1}{a}, \quad r = \frac{2S_2}{b}, \quad r = \frac{2S_3}{c}
\]

Приравняем все три выражения для \( r \):

\[
\frac{2S_1}{a} = \frac{2S_2}{b} = \frac{2S_3}{c}
\]

Сократим на 2:

\[
\frac{S_1}{a} = \frac{S_2}{b} = \frac{S_3}{c}
\]

Теперь подставим значения площадей:

\[
\frac{26}{a} = \frac{28}{b} = \frac{30}{c}
\]

Обозначим общее значение пропорции за \( k \):

\[
a = \frac{26}{k}, \quad b = \frac{28}{k}, \quad c = \frac{30}{k}
\]

Теперь найдем \( k \) через полупериметр. Сначала находим сумму сторон:

\[
a + b + c = \frac{26}{k} + \frac{28}{k} + \frac{30}{k} = \frac{84}{k}
\]

Теперь подставим в формулу для полупериметра:

\[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{84}{2k} = \frac{42}{k}
\]

Теперь подставим \( p \) в уравнение для площади:

\[
S = r \cdot p
\]

Теперь выразим \( r \):

\[
r = \frac{S}{p} = \frac{84}{\frac{42}{k}} = 2k
\]

Теперь подставим \( r \) обратно в уравнения для сторон:

\[
r = \frac{2S_1}{a} \Rightarrow 2k = \frac{2 \cdot 26}{\frac{26}{k}} \Rightarrow 2k = \frac{52k}{26} \Rightarrow 2k = 2k
\]

Аналогично для \( b \) и \( c \):

\[
r = \frac{2S_2}{b} \Rightarrow 2k = \frac{2 \cdot 28}{\frac{28}{k}} \Rightarrow 2k = \frac{56k}{28} \Rightarrow 2k = 2k
\]

\[
r = \frac{2S_3}{c} \Rightarrow 2k = \frac{2 \cdot 30}{\frac{30}{k}} \Rightarrow 2k = \frac{60k}{30} \Rightarrow 2k = 2k
\]

Теперь мы можем найти стороны \( a \), \( b \) и \( c \):

\[
a = \frac{26}{k}, \quad b = \frac{28}{k}, \quad c = \frac{30}{k}
\]

Теперь найдем \( k \). Из условия задачи мы знаем, что стороны треугольника \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \). Подставим в уравнение:

\[
\frac{26}{13} = \frac{28}{14} = \frac{30}{15} = 2
\]

Таким образом, \( k = 2 \). Теперь подставим \( k \) обратно в уравнения для сторон:

\[
a = \frac{26}{2} = 13 \text{ см}, \quad b = \frac{28}{2} = 14 \text{ см}, \quad c = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}
\]

Ответ: 13 см, 14 см, 15 см.