ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Медианы \(АА_1\) и \(ВВ_1\) треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если \(АА_1 = 9 \text{ см}\), \(ВВ_1 = 12 \text{ см}\), \(\angle AMB=150°\).

Площадь треугольника \( ABC \) можно найти по формуле:

\[
S = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AA_1 \cdot BB_1 \cdot \sin(\angle AMB)
\]

Дано: \( AA_1 = 9 \text{ см} \), \( BB_1 = 12 \text{ см} \), \( \angle AMB = 150^\circ \).

Сначала найдем \( \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \).

Теперь подставим значения в формулу:

\[
S = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}
\]

Вычислим:

1. \( 9 \cdot 12 = 108 \)
2. \( S = \frac{4}{3} \cdot \frac{108}{4} = \frac{108}{3} = 36 \text{ см}^2 \)

Ответ: 36 см².

Для нахождения площади треугольника \( ABC \) с медианами \( AA_1 \) и \( BB_1 \), пересекающимися в точке \( M \), будем использовать формулу для площади треугольника через медианы и угол между ними.

Дано:
— Длина медианы \( AA_1 = 9 \) см
— Длина медианы \( BB_1 = 12 \) см
— Угол \( \angle AMB = 150^\circ \)

Сначала определим, что медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников, но для нахождения площади треугольника \( ABC \) достаточно использовать формулу для площади через медианы.

Формула для площади треугольника через медианы выглядит так:

\[
S = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot \sin(\angle)
\]

где \( m_1 \) и \( m_2 \) — длины медиан, а \( \angle \) — угол между ними. В нашем случае:

\[
S = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot AA_1 \cdot BB_1 \cdot \sin(\angle AMB)
\]

Теперь подставим известные значения. Сначала найдем синус угла \( 150^\circ \):

\[
\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ — 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
\]

Теперь подставим все известные значения в формулу для площади:

\[
S = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}
\]

Теперь последовательно выполним вычисления. Сначала найдем произведение медиан:

1. \( 9 \cdot 12 = 108 \)

Теперь подставим это значение в формулу:

\[
S = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot \frac{1}{2}
\]

Упростим выражение:

\[
S = \frac{4}{3} \cdot \frac{108}{4}
\]

Сократим \( 4 \) в числителе и знаменателе:

\[
S = \frac{108}{3}
\]

Теперь выполним деление:

\[
S = 36 \text{ см}^2
\]

Ответ: 36 см².