ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Радиус вписанной окружности треугольника равен 4 см. Точка касания делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной 6 см и 8 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Радиус вписанной окружности \( r = 4 \) см. Длина отрезков на стороне \( a \) равна \( x = 6 \) см и \( y = 8 \) см. Тогда \( a = x + y = 6 + 8 = 14 \) см.

Полупериметр \( p = \frac{a + b + c}{2} \). Стороны \( b \) и \( c \) можно выразить как \( b = p — x \) и \( c = p — y \).

Сначала найдем \( p \):
\[
S = r \cdot p \quad \text{и} \quad S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]
Подставим \( S = 4p \):
\[
4p = \sqrt{p(p-14)(6)(8)}
\]
Квадрат обеих сторон:
\[
16p^2 = p(p-14)(48)
\]
Упрощаем:
\[
16p = (p-14)(48)
\]
Решаем:
\[
16p = 48p — 672 \implies 32p = 672 \implies p = 21
\]

Теперь находим стороны:
\[
b = p — x = 21 — 6 = 15 \text{ см}
\]
\[
c = p — y = 21 — 8 = 13 \text{ см}
\]

Ответ: \( BC = 15 \) см, \( AC = 13 \) см.

Рассмотрим треугольник, радиус вписанной окружности которого равен \( r = 4 \) см. У нас есть сторона \( a \), которая делится точкой касания на два отрезка длиной \( x = 6 \) см и \( y = 8 \) см. Сначала найдем длину стороны \( a \):

\[
a = x + y = 6 + 8 = 14 \text{ см}
\]

Теперь определим полупериметр \( p \) треугольника. Полупериметр выражается как:

\[
p = \frac{a + b + c}{2}
\]

где \( b \) и \( c \) — это остальные стороны треугольника. Мы знаем, что радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника \( S \) и полупериметр \( p \):

\[
r = \frac{S}{p}
\]

Площадь \( S \) треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:

\[
S = r \cdot p
\]

Теперь подставим известные значения. Сначала выразим площадь через \( p \):

\[
S = 4p
\]

С другой стороны, площадь можно выразить через стороны треугольника следующим образом:

\[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

Теперь подставим \( S = 4p \) в это уравнение:

\[
4p = \sqrt{p(p-14)(p-b)(p-c)}
\]

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
(4p)^2 = p(p-14)(p-b)(p-c)
\]

Это дает нам:

\[
16p^2 = p(p-14)(p-b)(p-c)
\]

Теперь упростим правую часть. Поскольку \( b = p — x \) и \( c = p — y \), подставим \( x = 6 \) и \( y = 8 \):

\[
b = p — 6, \quad c = p — 8
\]

Теперь подставим \( b \) и \( c \) в уравнение:

\[
16p^2 = p(p-14)(p-(p-6))(p-(p-8))
\]
\[
16p^2 = p(p-14)(6)(8)
\]

Упрощаем:

\[
16p^2 = 48p(p-14)
\]

Теперь делим обе стороны на \( p \) (при условии, что \( p \neq 0 \)):

\[
16p = 48(p-14)
\]

Раскроем скобки:

\[
16p = 48p — 672
\]

Переносим все члены с \( p \) в одну сторону:

\[
16p — 48p = -672
\]
\[
-32p = -672
\]

Теперь делим обе стороны на \(-32\):

\[
p = \frac{672}{32} = 21
\]

Теперь, когда мы нашли полупериметр \( p \), можем найти стороны \( b \) и \( c \):

\[
b = p — x = 21 — 6 = 15 \text{ см}
\]
\[
c = p — y = 21 — 8 = 13 \text{ см}
\]

Таким образом, стороны треугольника равны:

Ответ: \( BC = 15 \) см, \( AC = 13 \) см.