ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь \(S\) треугольника можно вычислить по формуле \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), где \(s = \frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр треугольника.

Формула Герона для вычисления площади треугольника выражается как \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), где \(s\) — полупериметр, равный \(\frac{a + b + c}{2}\). Для доказательства этой формулы мы сначала выражаем \(s-a\), \(s-b\) и \(s-c\) через стороны треугольника. Подставив эти значения в формулу, получаем \(S = \sqrt{\frac{s(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}}\). Дополнительно, площадь треугольника можно также вычислить через координаты его вершин с помощью определителя, что подтверждает совпадение с формулой Герона. Таким образом, площадь треугольника действительно может быть вычислена по данной формуле.

Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона, которая выражается следующим образом: \( S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \), где \( a \), \( b \), и \( c \) — длины сторон треугольника, а \( s \) — полупериметр, определяемый как \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

Для начала, давайте подробно рассмотрим, что такое полупериметр. Полупериметр \( s \) представляет собой половину суммы всех сторон треугольника. Это значение удобно использовать в формуле Герона, так как оно позволяет легко вычислить площадь, используя только длины сторон. Например, если у нас есть треугольник со сторонами \( a = 5 \), \( b = 6 \), и \( c = 7 \), то полупериметр будет равен \( s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \).

Теперь, чтобы применить формулу Герона, нам нужно вычислить значения \( s-a \), \( s-b \), и \( s-c \). Эти значения представляют собой разности полупериметра и каждой из сторон. В нашем случае мы можем найти:

\( s — a = 9 — 5 = 4 \)

\( s — b = 9 — 6 = 3 \)

\( s — c = 9 — 7 = 2 \)

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу Герона. Сначала подставим \( s \) и разности в формулу:

\( S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \)

Теперь произведем вычисления внутри корня:

\( S = \sqrt{9 \cdot 4 = 36} \)

\( 36 \cdot 3 = 108 \)

\( 108 \cdot 2 = 216 \)

Теперь вычислим корень:

\( S = \sqrt{216} \)

Чтобы упростить это значение, можно разложить \( 216 \) на множители:

\( 216 = 36 \cdot 6 = 6^2 \cdot 6 \)

Таким образом, корень из \( 216 \) можно записать как:

\( S = 6\sqrt{6} \)

Теперь давайте рассмотрим другой способ нахождения площади треугольника — через координаты его вершин. Если мы знаем координаты вершин треугольника \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), и \( C(x_3, y_3) \), то площадь \( S \) можно выразить через определитель:

\( S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) \right| \)

Этот метод также приводит к той же самой площади, что и формула Герона, что подтверждает правильность последней. Например, если вершины треугольника имеют координаты \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \), и \( C(2, 3) \), то мы можем подставить их в формулу:

\( S = \frac{1}{2} \left| 0(0 — 3) + 4(3 — 0) + 2(0 — 0) \right| \)

Выполнив вычисления, получаем:

\( S = \frac{1}{2} \left| 0 + 12 + 0 \right| = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \)

Таким образом, площадь треугольника, вычисленная через координаты, совпадает с площадью, вычисленной по формуле Герона, что подтверждает ее универсальность и правильность.