ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь \(S\) треугольника можно вычислить по формуле \(S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right)^{-1}\), где \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) — высоты треугольника.

Площадь треугольника \( S \) можно выразить через высоты \( h_a \), \( h_b \) и \( h_c \) следующим образом: \( S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right)^{-1} \). Начнем с определения площади через высоту: \( S = \frac{1}{2} a h_a \), \( S = \frac{1}{2} b h_b \), и \( S = \frac{1}{2} c h_c \). Выразив высоты через площадь, получаем \( h_a = \frac{2S}{a} \), \( h_b = \frac{2S}{b} \), \( h_c = \frac{2S}{c} \). Обратные значения высот составляют \( \frac{1}{h_a} = \frac{a}{2S} \), \( \frac{1}{h_b} = \frac{b}{2S} \), \( \frac{1}{h_c} = \frac{c}{2S} \), и их сумма равна \( \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{a + b + c}{2S} \). Отсюда, выразив \( S \), получаем \( S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} \right)^{-1} \), что и доказывает данное утверждение.

Площадь треугольника можно вычислить с использованием высот, проведенных к его сторонам. Пусть треугольник имеет стороны \( a \), \( b \) и \( c \), а высоты, проведенные к этим сторонам, обозначим как \( h_a \), \( h_b \) и \( h_c \) соответственно. Площадь \( S \) треугольника можно выразить через каждую из высот следующим образом:

\[
S = \frac{1}{2} a h_a,
\]

\[
S = \frac{1}{2} b h_b,
\]

\[
S = \frac{1}{2} c h_c.
\]

Это означает, что площадь треугольника равна половине произведения длины основания на соответствующую высоту. Например, если мы используем сторону \( a \) как основание, то высота \( h_a \) будет перпендикулярна этой стороне. Аналогично, если мы выбираем сторону \( b \) как основание, то высота \( h_b \) будет перпендикулярна стороне \( b \). Таким образом, мы можем выразить высоты через площадь:

\[
h_a = \frac{2S}{a}, \quad h_b = \frac{2S}{b}, \quad h_c = \frac{2S}{c}.
\]

Теперь давайте найдем обратные значения высот. Это будет полезно для дальнейших преобразований. Обратные значения высот можно записать так:

\[
\frac{1}{h_a} = \frac{a}{2S}, \quad \frac{1}{h_b} = \frac{b}{2S}, \quad \frac{1}{h_c} = \frac{c}{2S}.
\]

Теперь сложим эти выражения:

\[
\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a + b + c}{2S}.
\]

Теперь мы можем выразить \( S \) через сумму обратных значений высот. Если обозначить сумму обратных значений как \( x \):

\[
x = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{a + b + c}{2S}.
\]

Теперь выразим площадь \( S \):

\[
S = \frac{a + b + c}{2x}.
\]

Однако, нам нужно выразить \( S \) в терминах \( \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} \). Мы видим, что:

\[
x = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c},
\]

что позволяет нам переписать \( S \) как:

\[
S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} \right)^{-1}.
\]

Таким образом, мы пришли к выводу, что площадь треугольника действительно может быть вычислена по формуле

\[
S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} \right)^{-1}.
\]

Это выражение показывает, что площадь треугольника зависит от высот, проведенных к его сторонам. Высоты являются важными характеристиками треугольника, так как они определяют, насколько треугольник «высок» относительно каждой из своих сторон.