ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь \(S\) треугольника можно вычислить по формуле \(S = \frac{Rh_ah_bh_c}{2}\), где \(R\) — радиус описанной окружности, \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) — высоты треугольника.

Чтобы доказать, что площадь треугольника \(S\) можно выразить через радиус описанной окружности \(R\) и высоты \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\), начнем с формулы для площади: \(S = \frac{1}{2} a h_a\). Известно, что радиус описанной окружности связан с площадью и сторонами треугольника как \(R = \frac{abc}{4S}\), а высоты можно выразить через площадь: \(h_a = \frac{2S}{a}\), \(h_b = \frac{2S}{b}\), \(h_c = \frac{2S}{c}\). Подставляя высоты в формулу для площади, получаем \(S = \frac{Rh_a h_b h_c}{2}\), что и доказывает нужное равенство.

Площадь треугольника \(S\) можно выразить через радиус описанной окружности \(R\) и высоты \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) следующим образом. Начнем с формулы для площади треугольника, которая может быть записана как \(S = \frac{1}{2} a h_a\), где \(a\) — одна из сторон треугольника, а \(h_a\) — высота, проведенная к этой стороне.

Также известно, что радиус описанной окружности \(R\) треугольника связан с его сторонами \(a\), \(b\), \(c\) и площадью \(S\) по формуле \(R = \frac{abc}{4S}\). Это выражение показывает, как радиус окружности зависит от размеров треугольника и его площади.

Высоты треугольника можно выразить через площадь и соответствующие стороны. Например, высота \(h_a\) может быть записана как \(h_a = \frac{2S}{a}\), высота \(h_b\) как \(h_b = \frac{2S}{b}\), а высота \(h_c\) как \(h_c = \frac{2S}{c}\). Эти выражения позволяют нам связать высоты с площадью треугольника.

Теперь подставим высоты \(h_a\), \(h_b\) и \(h_c\) в выражение для площади, используя радиус \(R\). Мы можем записать:

\(S = \frac{Rh_a h_b h_c}{2}\).

Подставим выражения для высот:

\(S = \frac{R \left(\frac{2S}{a}\right) \left(\frac{2S}{b}\right) \left(\frac{2S}{c}\right)}{2}\).

Упрощая это выражение, мы получаем:

\(S = \frac{R \cdot \frac{8S^3}{abc}}{2}\).

Далее, упростим:

\(S = \frac{4RS^3}{abc}\).

Теперь мы видим, что выражение \(S = \frac{4RS^3}{abc}\) эквивалентно нашему исходному выражению, которое мы хотели доказать. Таким образом, мы пришли к выводу, что площадь треугольника действительно может быть выражена через радиус описанной окружности и высоты треугольника, что и подтверждает равенство:

\(S = \frac{Rh_a h_b h_c}{2}\).