ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса \(R\). Угол между его диагоналями равен \(\phi\). Докажите, что площадь \(S\) четырёхугольника можно вычислить по формуле \(S = 2R^2 \sin A \sin B \sin \phi\).

Площадь вписанного четырёхугольника \(ABCD\) можно выразить через радиус окружности \(R\) и углы \(A\), \(B\) и угол между диагоналями \(\phi\) следующим образом: используя формулу для площади через синусы диагоналей, получаем \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \phi\). Длину диагоналей можно выразить как \(AC = 2R \sin A\) и \(BD = 2R \sin B\). Подставив эти выражения в формулу для площади, получаем \(S = \frac{1}{2} \cdot (2R \sin A) \cdot (2R \sin B) \cdot \sin \phi = 2R^2 \sin A \sin B \sin \phi\), что и требовалось доказать.

Площадь вписанного четырёхугольника \(ABCD\) можно выразить через радиус окружности \(R\) и углы \(A\), \(B\) и угол между диагоналями \(\phi\). Начнём с формулы для площади \(S\) четырёхугольника, которая может быть записана как \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \phi\), где \(AC\) и \(BD\) — длины диагоналей.

Длину диагонали \(AC\) можно выразить через радиус окружности и угол \(A\) следующим образом: \(AC = 2R \sin A\). Аналогично, длину диагонали \(BD\) можно выразить как \(BD = 2R \sin B\).

Теперь подставим эти выражения в формулу для площади:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (2R \sin A) \cdot (2R \sin B) \cdot \sin \phi
\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin A \sin B \sin \phi
\]

Это равенство можно упростить до:

\[
S = 2R^2 \sin A \sin B \sin \phi
\]

Таким образом, мы получили искомую формулу для площади вписанного четырёхугольника, которая связывает её с радиусом окружности и углами \(A\), \(B\) и углом между диагоналями \(\phi\).