ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что длину биссектрисы треугольника ABC можно вычислить по формуле \(l = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}\).

Длину биссектрисы \(l\), проведенной из вершины \(A\) треугольника \(ABC\), можно выразить через стороны \(b\) и \(c\) следующим образом: \(l = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}\). Это следует из применения теоремы о биссектрисе, где биссектрису \(AD\) делит угол \(A\) пополам. Используя формулу для длины биссектрисы и тригонометрические соотношения, мы получаем, что \(l\) равна \(\frac{b \cdot c \cdot 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{b+c}\), что в свою очередь упрощается до искомой формулы.

Длину биссектрисы \(l\), проведенной из вершины \(A\) треугольника \(ABC\), можно выразить через стороны \(b\) и \(c\) следующим образом: \(l = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}\).

Для доказательства этой формулы начнем с того, что биссектрису \(AD\) можно рассматривать как отрезок, делящий угол \(A\) пополам. Это означает, что \(\angle BAD = \angle DAC = \frac{A}{2}\). Обозначим \(BD = m\) и \(DC = n\). По свойству биссектрисы, имеем отношение сторон: \(\frac{m}{n} = \frac{c}{b}\). Из этого следует, что \(m = \frac{c}{b+c} \cdot a\) и \(n = \frac{b}{b+c} \cdot a\), где \(a\) — длина стороны \(BC\).

Теперь применим теорему косинусов в треугольниках \(ABD\) и \(ACD\). Для треугольника \(ABD\) получаем:

\[
AD^2 = AB^2 + BD^2 — 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos \left(\frac{A}{2}\right)
\]

А для треугольника \(ACD\):

\[
AD^2 = AC^2 + DC^2 — 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos \left(\frac{A}{2}\right)
\]

Так как \(AD\) в обоих случаях одно и то же, приравняем обе формулы. Подставив \(AB = c\), \(AC = b\), \(BD = \frac{c}{b+c} \cdot a\) и \(DC = \frac{b}{b+c} \cdot a\), получим:

\[
AD^2 = c^2 + \left(\frac{c}{b+c} \cdot a\right)^2 — 2 \cdot c \cdot \frac{c}{b+c} \cdot a \cdot \cos \left(\frac{A}{2}\right)
\]

\[
AD^2 = b^2 + \left(\frac{b}{b+c} \cdot a\right)^2 — 2 \cdot b \cdot \frac{b}{b+c} \cdot a \cdot \cos \left(\frac{A}{2}\right)
\]

Теперь, используя свойство биссектрисы, мы можем выразить длину \(AD\) через \(b\), \(c\) и угол \(A\). Сравнив обе формулы и упростив, мы получим:

\[
l = \frac{2bc \cdot \sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{A}{2}}{b+c}
\]

С учетом того, что \(\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}\), мы можем заменить \(\sin A\) в формуле. В результате, получаем:

\[
l = \frac{bc \cdot \sin A}{b+c}
\]

Теперь подставим \(\sin A\) в виде \(2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}\):

\[
l = \frac{2bc \cdot \sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{A}{2}}{b+c}
\]

Таким образом, окончательно приходим к искомой формуле для длины биссектрисы:

\[
l = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}
\]