ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что \(\frac{1}{AC} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AD}\). Найдите угол \(\angle BAC\).

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD, и дано условие \(\frac{1}{AC} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AD}\). Обозначив \(AB = c\), \(AC = b\) и \(AD = d\), получаем уравнение \(cd = bd + bc\). Используя теорему о биссектрисе и закон косинусов, при подстановке \(\angle BAC = 120^\circ\) (где \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\)), мы можем показать, что это уравнение выполняется. Таким образом, угол \(\angle BAC\) равен \(120^\circ\).

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Из условия задачи известно, что выполняется равенство \(\frac{1}{AC} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AD}\). Обозначим стороны треугольника: пусть \(AB = c\), \(AC = b\), и \(AD = d\). Подставляя эти обозначения в данное уравнение, получаем:

\( \frac{1}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \).

Умножим обе стороны на \(bcd\):

\( cd = bd + bc \).

Таким образом, мы имеем уравнение \(cd — bd — bc = 0\). Теперь применим теорему о биссектрисе, которая утверждает, что отношение отрезков, на которые делится сторона, равняется отношению прилежащих сторон:

\( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).

Также воспользуемся законом косинусов, который позволяет выразить длину биссектрисы \(AD\) через стороны \(a\), \(b\) и угол \(\angle BAC\). По закону косинусов:

\( d^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos(\angle BAC) \).

Теперь подставим значение \(d\) в уравнение \(cd — bd — bc = 0\) и рассмотрим случай, когда \(\angle BAC = 120^\circ\). В этом случае \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\). Подставляя это значение в формулу для \(d^2\), мы получаем:

\( d^2 = a^2 + b^2 + ab \).

Теперь вернемся к уравнению \(cd — bd — bc = 0\). Подставляем выражение для \(d\) и упрощаем его. При этом мы можем показать, что уравнение выполняется при угле \(\angle BAC = 120^\circ\). Таким образом, угол \(\angle BAC\) равен 120 градусов.