ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника, если известно, что две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса треугольника, проведённая из их общей вершины, равна 12 см.

Для нахождения площади треугольника с двумя сторонами 35 см и 14 см и биссектрисой 12 см, сначала используем формулу для длины биссектрисы: \( d = \frac{2ab}{a + b} \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \). Подставив значения, находим \(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0.6\), откуда \(\theta = 2 \cdot \cos^{-1}(0.6)\). Затем, используя тригонометрические тождества, находим \(\sin(\theta) = 0.96\). Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2}ab \sin(\theta) \), что дает \( S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 14 \cdot 0.96 = 235.2 \, \text{см}^2 \). Таким образом, площадь треугольника равна 235,2 см².

Для нахождения площади треугольника с двумя сторонами \( a = 35 \) см и \( b = 14 \) см, а также биссектрисой \( d = 12 \) см, начнем с формулы для длины биссектрисы:

\( d = \frac{2ab}{a + b} \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \),

где \( \theta \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \). Подставим известные значения в формулу:

\( 12 = \frac{2 \cdot 35 \cdot 14}{35 + 14} \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \).

Вычислим знаменатель:

\( 35 + 14 = 49 \).

Теперь подставим это значение:

\( 12 = \frac{2 \cdot 35 \cdot 14}{49} \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \).

Вычислим числитель:

\( 2 \cdot 35 \cdot 14 = 980 \),

и подставим его в уравнение:

\( 12 = \frac{980}{49} \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \).

Теперь упростим дробь:

\( \frac{980}{49} = 20 \),

что дает:

\( 12 = 20 \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \).

Решим уравнение для \(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\):

\( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{12}{20} = 0.6 \).

Теперь найдем угол \( \theta \):

\( \frac{\theta}{2} = \cos^{-1}(0.6) \),

откуда

\( \theta = 2 \cdot \cos^{-1}(0.6) \).

Для нахождения площади треугольника используем формулу:

\( S = \frac{1}{2}ab \sin(\theta) \).

Сначала найдем \(\sin(\theta)\). Используем тригонометрическое тождество:

\( \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 \).

Зная, что \(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0.6\), найдем \(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\):

\( \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 — 0.6^2 = 1 — 0.36 = 0.64 \),

откуда

\( \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{0.64} = 0.8 \).

Теперь вычислим \(\sin(\theta)\):

\( \sin(\theta) = 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.6 = 0.96 \).

Теперь подставим все значения в формулу для площади:

\( S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 14 \cdot 0.96 \).

Вычислим произведение:

\( 35 \cdot 14 = 490 \),

и подставим это значение:

\( S = \frac{1}{2} \cdot 490 \cdot 0.96 = 245 \cdot 0.96 = 235.2 \, \text{см}^2 \).

Таким образом, площадь треугольника равна 235.2 см².