ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для треугольника ABC докажите неравенство \(S \le \frac{a^2 + b^2}{4}\).

Для доказательства неравенства \(S \le \frac{a^2 + b^2}{4}\), где \(S\) — площадь треугольника с длинами сторон \(a\) и \(b\), воспользуемся формулой Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\). Поскольку для любого треугольника выполняется неравенство \(c < a + b\), получаем \(p > \frac{a+b}{2}\). Следовательно, \(S\) можно оценить как \(S \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\). Поскольку \(2ab \geq 0\), мы имеем \(S \leq \frac{a^2 + b^2}{4}\), что и требовалось доказать.

Для доказательства неравенства \(S \le \frac{a^2 + b^2}{4}\), где \(S\) — площадь треугольника с длинами сторон \(a\) и \(b\), воспользуемся формулой Герона, которая выражает площадь треугольника через его стороны. Площадь \(S\) можно записать как \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) — полупериметр треугольника, равный \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

Для начала отметим, что для любого треугольника выполняется неравенство \(c < a + b\). Это свойство позволяет нам сделать вывод о том, что полупериметр \(p\) всегда больше половины суммы двух сторон: \(p > \frac{a+b}{2}\). Таким образом, мы можем записать неравенство для площади треугольника, используя полупериметр: \(S \leq p^2\).

Теперь подставим выражение для полупериметра \(p\) в неравенство. Мы имеем \(p = \frac{a+b+c}{2}\), и поскольку \(c\) меньше \(a + b\), то \(p\) будет меньше \(a + b\). Следовательно, мы можем оценить \(S\) следующим образом: \(S \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\).

Раскроем квадрат: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2}{4}\). Дальше раскроем скобки: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Таким образом, получаем \(S \leq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\).

Теперь сравним это выражение с \(\frac{a^2 + b^2}{4}\). Мы видим, что \(2ab \geq 0\), что всегда верно, так как произведение двух положительных чисел не может быть отрицательным. Следовательно, добавление \(2ab\) в числитель лишь увеличивает значение, а значит, \(\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \geq \frac{a^2 + b^2}{4}\).

Таким образом, мы можем заключить, что \(S \leq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\) приводит к неравенству \(S \leq \frac{a^2 + b^2}{4}\). Это завершает доказательство.