ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для треугольника ABC докажите неравенства: 1) \(S \le \frac{a^2 + ab + b^2}{6}\); 2) \(S \le \frac{a^2 — ab + b^2}{2}\).

Для доказательства неравенств \( S \le \frac{a^2 + ab + b^2}{6} \) и \( S \le \frac{a^2 — ab + b^2}{2} \) используем формулу площади треугольника \( S = \frac{1}{2}ab \sin C \), где \( C \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \). Поскольку \( \sin C \leq 1 \), получаем \( S \leq \frac{1}{2}ab \). Далее, чтобы показать первое неравенство, преобразуем его до \( 3ab \leq a^2 + ab + b^2 \), что эквивалентно \( 2ab \leq a^2 + b^2 \) и верно по неравенству Коши-Шварца. Для второго неравенства аналогично получаем \( 2ab \leq a^2 + b^2 \) из \( ab \leq a^2 — ab + b^2 \). Таким образом, оба неравенства доказаны.

Для доказательства неравенств \( S \le \frac{a^2 + ab + b^2}{6} \) и \( S \le \frac{a^2 — ab + b^2}{2} \) воспользуемся формулой площади треугольника. Площадь треугольника с длинами сторон \( a \), \( b \) и углом \( C \) между ними выражается как \( S = \frac{1}{2}ab \sin C \). Поскольку \( \sin C \) принимает значения от 0 до 1, мы можем утверждать, что \( S \le \frac{1}{2}ab \).

Для первого неравенства \( S \le \frac{a^2 + ab + b^2}{6} \) необходимо показать, что \( \frac{1}{2}ab \le \frac{a^2 + ab + b^2}{6} \). Умножив обе стороны на 6, получаем \( 3ab \le a^2 + ab + b^2 \). Переносим \( 3ab \) на правую сторону: \( 0 \le a^2 — 2ab + b^2 \). Это неравенство эквивалентно \( (a — b)^2 \ge 0 \), что верно для любых \( a \) и \( b \).

Теперь перейдем ко второму неравенству \( S \le \frac{a^2 — ab + b^2}{2} \). Чтобы доказать его, нужно показать, что \( \frac{1}{2}ab \le \frac{a^2 — ab + b^2}{2} \). Умножив обе стороны на 2, получаем \( ab \le a^2 — ab + b^2 \). Переносим \( ab \) на правую сторону: \( 0 \le a^2 — 2ab + b^2 \). Это неравенство также эквивалентно \( (a — b)^2 \ge 0 \), что также верно для любых \( a \) и \( b \).

Таким образом, оба неравенства \( S \le \frac{a^2 + ab + b^2}{6} \) и \( S \le \frac{a^2 — ab + b^2}{2} \) доказаны.