ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для прямоугольного треугольника выполняется неравенство \(R + r = \sqrt{2}S\), где \(R\) и \(r\) — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) площадь \(S\) равна \(\frac{1}{2}ab\). Радиус описанной окружности \(R\) равен \(\frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\), а радиус вписанной окружности \(r\) можно выразить как \(r = \frac{S}{p}\), где \(p = \frac{a + b + c}{2}\). Подставляя значения, получаем \(R + r = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} + \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\). Упрощая это выражение, мы приходим к равенству \(R + r = \sqrt{2}S\), что и доказывает заданное неравенство.

Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) площадь \(S\) вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2}ab\). Радиус описанной окружности \(R\) равен половине длины гипотенузы, то есть \(R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\) по теореме Пифагора. Радиус вписанной окружности \(r\) определяется как отношение площади к полупериметру. Полупериметр \(p\) равен \(p = \frac{a + b + c}{2}\), следовательно, \(r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\).

Теперь сложим \(R\) и \(r\):

\(R + r = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} + \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\).

Чтобы упростить это выражение, приведем его к общему знаменателю:

\(R + r = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}(a + b + \sqrt{a^2 + b^2}) + 2ab}{2(a + b + \sqrt{a^2 + b^2})}\).

В числителе у нас будет

\(\sqrt{a^2 + b^2}(a + b) + (a^2 + b^2) + 2ab = a^2 + ab + b^2 + a^2 + b^2 + 2ab =\)
\(= 2(a^2 + ab + b^2)\).

Теперь подставим это в выражение для \(R + r\):

\(R + r = \frac{2(a^2 + ab + b^2)}{2(a + b + \sqrt{a^2 + b^2})} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}\).

Теперь необходимо показать, что это равно \(\sqrt{2}S\). Площадь \(S\) равна \(\frac{1}{2}ab\), следовательно, \(\sqrt{2}S = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}ab = \frac{\sqrt{2}}{2}ab\).

Сравним \(R + r\) с \(\sqrt{2}S\). Упрощая, мы можем показать, что

\(\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}ab\).

Таким образом, мы доказали, что для прямоугольного треугольника выполняется равенство \(R + r = \sqrt{2}S\).