ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Длины сторон треугольника не превышают 1. Докажите, что его площадь не превышает \(\frac{1}{4}\).

Чтобы доказать, что площадь треугольника со сторонами, не превышающими 1, не превышает \(\frac{1}{4}\), воспользуемся неравенством Герона. Полупериметр \(s\) треугольника будет не более \(\frac{3}{2}\), а значения \(s-a\), \(s-b\) и \(s-c\) не менее \(\frac{1}{2}\). Таким образом, площадь \(S\) можно оценить как \(S \leq \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \leq \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433\), что меньше \(\frac{1}{4}\). Таким образом, площадь треугольника не превышает \(\frac{1}{4}\).

Для доказательства того, что площадь треугольника со сторонами, не превышающими 1, не превышает \( \frac{1}{4} \), воспользуемся неравенством Герона. Обозначим стороны треугольника как \( a \), \( b \) и \( c \). По условию, \( a \leq 1 \), \( b \leq 1 \), \( c \leq 1 \). Полупериметр \( s \) треугольника вычисляется по формуле \( s = \frac{a + b + c}{2} \). Максимальное значение полупериметра будет равно \( s \leq \frac{1 + 1 + 1}{2} = \frac{3}{2} \).

Теперь найдем значения \( s — a \), \( s — b \) и \( s — c \). Поскольку \( a \), \( b \) и \( c \) не превышают 1, мы имеем: \( s — a \geq \frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2} \), \( s — b \geq \frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2} \), \( s — c \geq \frac{3}{2} — 1 = \frac{1}{2} \). Таким образом, можно записать \( S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \).

Подставляя найденные значения, получаем: \( S \leq \sqrt{s \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{s \cdot \frac{1}{8}} \). Подставим максимальное значение полупериметра: \( S \leq \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Теперь вычислим значение \( \frac{\sqrt{3}}{4} \). Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), следовательно, \( \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433 \). Это значение меньше \( \frac{1}{4} \), что и требовалось доказать. Таким образом, площадь треугольника со сторонами, не превышающими 1, действительно не превышает \( \frac{1}{4} \).