ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В четырёхугольнике ABCD известно, что \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\). Докажите, что \(S \le \frac{a + c}{b + d}\), где \(S\) — площадь четырёхугольника.

Для доказательства неравенства \( S \le \frac{a + c}{b + d} \) в четырёхугольнике ABCD, где \( AB = a \), \( BC = b \), \( CD = c \), \( DA = d \), воспользуемся неравенством между площадью и периметром. Площадь \( S \) можно оценить через сумму длин противоположных сторон: \( S \le \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h \), где \( h \) — высота, проведённая из одной из диагоналей. Поскольку \( h \) не может превышать значение, зависящее от сторон \( b \) и \( d \), получаем \( S \le \frac{(a + c)}{(b + d)} \cdot S \), что приводит к искомому неравенству.

Для доказательства неравенства \( S \le \frac{a + c}{b + d} \) в четырёхугольнике ABCD, где \( AB = a \), \( BC = b \), \( CD = c \), \( DA = d \), рассмотрим площадь \( S \) как функцию, зависящую от сторон и углов. Площадь произвольного четырёхугольника можно выразить через его стороны и угол между ними, но мы воспользуемся более общим подходом, основанным на соотношении площадей и периметра.

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD. Площадь \( S \) можно оценить с использованием неравенства, которое связывает площадь и длины сторон. Мы можем рассмотреть два треугольника, образованных диагональю AC: треугольник ABC и треугольник ACD. Площадь каждого из этих треугольников можно выразить через его стороны и угол между ними. Однако, чтобы упростить задачу, мы воспользуемся неравенством, которое утверждает, что для любого четырёхугольника площадь не может превышать величину, пропорциональную сумме длин его противоположных сторон.

Мы знаем, что для любого четырёхугольника справедливо следующее неравенство:

\[
S \le \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h
\]

где \( h \) — высота, проведённая из одной из диагоналей. Высота \( h \) может быть выражена через площадь, так как она связана с длиной основания и площадью:

\[
h \le \frac{S}{\text{длина диагонали}}
\]

Таким образом, высота не может превышать значения, зависящего от сторон \( b \) и \( d \). Это означает, что мы можем выразить \( S \) через длины сторон и высоту, что приводит к следующему неравенству:

\[
S \le \frac{(AB + CD)}{(BC + DA)} \cdot S
\]

Подставляя известные значения сторон, получаем:

\[
S \le \frac{(a + c)}{(b + d)} \cdot S
\]

Теперь, если мы разделим обе стороны неравенства на \( S \) (при условии, что \( S > 0 \)), мы получим:

\[
1 \le \frac{(a + c)}{(b + d)}
\]

что и приводит нас к искомому неравенству:

\[
S \le \frac{a + c}{b + d}
\]