ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Периметр четырёхугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превышает 1.

Чтобы доказать, что площадь четырёхугольника с периметром 4 не превышает 1, рассмотрим квадрат со стороной \( x \). При равенстве сторон периметр квадрата равен \( 4x = 4 \), откуда \( x = 1 \). Площадь квадрата равна \( S = x^2 = 1^2 = 1 \). Поскольку квадрат имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников с данным периметром, площадь любого четырёхугольника с периметром 4 не может превышать 1, что и требовалось доказать.

Для доказательства того, что площадь четырёхугольника с периметром 4 не превышает 1, начнём с обозначения сторон четырёхугольника как \( a, b, c, d \). По условию, их сумма равна периметру: \( a + b + c + d = 4 \).

Рассмотрим, как площадь \( S \) связана с длинами сторон. Для произвольного четырёхугольника можно использовать неравенство о площади, которое утверждает, что площадь \( S \) не может превышать значения, полученные от периметра. Наиболее эффективным способом оценки площади при фиксированном периметре является использование формы, которая максимизирует площадь, а именно — квадрат.

Предположим, что наш четырёхугольник является квадратом со стороной \( x \). Тогда его периметр будет равен \( 4x \). Установим равенство с известным периметром: \( 4x = 4 \). Решая это уравнение, получаем \( x = 1 \). Теперь вычислим площадь квадрата: \( S = x^2 = 1^2 = 1 \).

Следовательно, площадь любого четырёхугольника с периметром 4 не может превышать площадь квадрата, которая равна 1. Это связано с тем, что среди всех возможных конфигураций четырёхугольников, квадрат обеспечивает максимальную площадь при заданном периметре. Таким образом, мы можем заключить, что для любого четырёхугольника с периметром 4 площадь \( S \) удовлетворяет неравенству \( S \leq 1 \).