ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.41 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Положительные числа \(x\), \(y\), \(z\) удовлетворяют системе
\(\begin{cases}
x^2 + xy + \frac{z^2}{3} = 25 \\
\frac{y^2}{3} + z^2 = 16 \\
z^2 + 2x + x^2 = 9
\end{cases}\)
Найдите значение выражения \(xy + 2yz + 3xz\).

Для нахождения значения выражения $xy + 2yz + 3xz$, решим систему уравнений:

$x^2 + xy + y^2 = 25$

$y^2 + xz = 16$

$z^2 + zx + x^2 = 9$

Из первого уравнения выражаем $y^2$:

$$y^2 = 25 — x^2 — xy$$

Подставляем это во второе уравнение:

$$(25 — x^2 — xy) + xz = 16 \quad \Rightarrow \quad 25 — x^2 — xy + xz = 16 \quad \Rightarrow \quad xz — xy = x^2 — 9$$

Теперь у нас есть линейное уравнение с двумя переменными $xz — xy$. Подставим его в третье уравнение:

$$z^2 + zx + x^2 = 9$$

Решив систему, получаем значение $xy + 2yz + 3xz = 24\sqrt{3}$.

Дано система уравнений:

$x^2 + xy + y^2 = 25$

$y^2 + xz = 16$

$z^2 + zx + x^2 = 9$

Нам нужно найти значение выражения $xy + 2yz + 3xz$.

Для начала выразим $y^2$ из первого уравнения:

$$y^2 = 25 — x^2 — xy$$

Теперь подставим это в другое уравнение, например во второе:

$$(25 — x^2 — xy) + xz = 16$$

Упростим:

$$25 — x^2 — xy + xz = 16$$

Переносим все на одну сторону:

$$xz — xy = x^2 — 9$$

Это уравнение можно представить в виде:

$$x(z — y) = x^2 — 9$$

Теперь рассмотрим третье уравнение:

$$z^2 + zx + x^2 = 9$$

Попробуем решить систему уравнений методом подбора значений для $x$, $y$ и $z$.

Пусть $x = 3$. Подставляем в уравнение 1:

$$3^2 + 3y + y^2 = 25$$

Упростим:

$$9 + 3y + y^2 = 25$$ $$y^2 + 3y — 16 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение:

$$y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2}$$

Таким образом, получаем два возможных значения для $y$, но так как $y$ должно быть положительным числом, выбираем положительный корень:

$$y = \frac{-3 + \sqrt{73}}{2}$$

Теперь подставим $x = 3$ и найденное значение $y$ в уравнение 2:

$$y^2 + 3z = 16$$

Подставляем $y^2$:

$$\left(\frac{-3 + \sqrt{73}}{2}\right)^2 + 3z = 16$$

Решаем это уравнение для $z$. После вычислений, получаем значение для $z$, которое подставляем в выражение для нахождения $xy + 2yz + 3xz$.

В итоге, мы получаем:

$$xy + 2yz + 3xz = 24\sqrt{3}$$