ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 5.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами: 1) 5 см, 5 см и 6 см; 2) 25 см, 29 см и 36 см.

Для треугольника со сторонами $5 \, \text{см}, 5 \, \text{см}, 6 \, \text{см}$ полупериметр $p = 8 \, \text{см}$, площадь $S = 12 \, \text{см}^2$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \, \text{см}$, радиус описанной окружности $R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \times 5 \times 6}{4 \times 12} = \frac{25}{8} \, \text{см}$. Для треугольника со сторонами $25 \, \text{см}, 29 \, \text{см}, 36 \, \text{см}$ полупериметр $p = 45 \, \text{см}$, площадь $S = 360 \, \text{см}^2$. Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{360}{45} = 8 \, \text{см}$, радиус описанной окружности $R = \frac{abc}{4S} = \frac{25 \times 29 \times 36}{4 \times 360} = \frac{145}{8} \, \text{см}$.

Для первого треугольника со сторонами \(5\) см, \(5\) см и \(6\) см:
1. Расчет полупериметра \(p\):
Полупериметр треугольника, обозначаемый как \(p\), представляет собой половину суммы длин всех его сторон. Он является ключевой вспомогательной величиной, необходимой для дальнейших вычислений, таких как определение площади треугольника по формуле Герона и радиуса вписанной окружности. Для данного треугольника со сторонами \(a = 5\) см, \(b = 5\) см и \(c = 6\) см, полупериметр вычисляется следующим образом:
\(p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 5 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см.
Таким образом, полупериметр первого треугольника составляет \(8\) см.

2. Расчет площади \(S\) с использованием формулы Герона:
Площадь треугольника \(S\) может быть найдена с использованием формулы Герона, которая особенно полезна, когда известны длины всех трех сторон треугольника и нет необходимости в знании высоты. Формула Герона гласит: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон треугольника, а \(p\) — его полупериметр, который мы уже вычислили.
Сначала вычислим разности полупериметра и каждой из сторон:
\(p — a = 8 — 5 = 3\) см.
\(p — b = 8 — 5 = 3\) см.
\(p — c = 8 — 6 = 2\) см.
Теперь подставим эти значения в формулу Герона:
\(S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2}\)
Выполним умножение под корнем: \(8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \cdot 6 = 144\).
Таким образом, \(S = \sqrt{144} = 12\) см\(^2\).
Площадь первого треугольника составляет \(12\) квадратных сантиметров.

3. Расчет радиуса вписанной окружности \(r\):
Радиус вписанной окружности \(r\) — это радиус окружности, которая касается всех трех сторон треугольника изнутри. Это одна из фундаментальных характеристик треугольника. Его можно вычислить, используя простую и элегантную формулу, связывающую площадь треугольника \(S\) и его полупериметр \(p\): \(r = \frac{S}{p}\). Эта формула вытекает из того факта, что площадь треугольника может быть представлена как сумма площадей трех меньших треугольников, образованных сторонами исходного треугольника и центром вписанной окружности.
Используя уже вычисленные значения площади \(S = 12\) см\(^2\) и полупериметра \(p = 8\) см, получаем:
\(r = \frac{12}{8}\)
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:
\(r = \frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2}\) см.
Таким образом, радиус вписанной окружности для первого треугольника равен \(1.5\) см.

4. Расчет радиуса описанной окружности \(R\):
Радиус описанной окружности \(R\) — это радиус окружности, которая проходит через все три вершины треугольника. Эта окружность является единственной для любого треугольника. Его можно вычислить с помощью формулы, связывающей длины сторон треугольника \(a\), \(b\), \(c\) и его площадь \(S\): \(R = \frac{abc}{4S}\). Эта формула является важным следствием теоремы синусов и определения площади треугольника через произведение сторон и синус угла между ними.
Подставим значения длин сторон \(a=5\), \(b=5\), \(c=6\) и вычисленной площади \(S=12\) см\(^2\) в формулу:
\(R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12}\)
Выполним умножение в числителе: \(5 \cdot 5 \cdot 6 = 25 \cdot 6 = 150\).
Выполним умножение в знаменателе: \(4 \cdot 12 = 48\).
Таким образом, \(R = \frac{150}{48}\).
Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 6: \(150 \div 6 = 25\), \(48 \div 6 = 8\).
\(R = \frac{25}{8}\) см.
Радиус описанной окружности для первого треугольника составляет \(25/8\) см.

Для второго треугольника со сторонами \(25\) см, \(29\) см и \(36\) см:
1. Расчет полупериметра \(p\):
Аналогично первому случаю, для второго треугольника со сторонами \(a = 25\) см, \(b = 29\) см и \(c = 36\) см, мы сначала вычисляем его полупериметр \(p\). Полупериметр является фундаментальной характеристикой, которая отражает половину общей длины границы треугольника и используется в различных геометрических формулах.
Расчет полупериметра производится по формуле:
\(p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{25 + 29 + 36}{2}\)
Суммируем длины сторон: \(25 + 29 + 36 = 54 + 36 = 90\).
Теперь делим сумму на 2: \(p = \frac{90}{2} = 45\) см.
Следовательно, полупериметр второго треугольника равен \(45\) см.

2. Расчет площади \(S\) с использованием формулы Герона:
После определения полупериметра, следующим шагом является вычисление площади \(S\) второго треугольника, используя ту же универсальную формулу Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Эта формула позволяет точно определить площадь любого треугольника, зная только длины его сторон.
Сначала вычислим разности полупериметра и каждой из сторон:
\(p — a = 45 — 25 = 20\) см.
\(p — b = 45 — 29 = 16\) см.
\(p — c = 45 — 36 = 9\) см.
Теперь подставим эти значения в формулу Герона:
\(S = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9}\)
Для упрощения вычисления квадратного корня, разложим множители на простые или полные квадраты:
\(S = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9}\)
Перегруппируем множители для удобства извлечения корня:
\(S = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 16}\)
Извлечем квадратные корни из полных квадратов: \(\sqrt{9^2} = 9\), \(\sqrt{5^2} = 5\), \(\sqrt{4} = 2\), \(\sqrt{16} = 4\).
Таким образом, \(S = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4\)
Выполним умножение: \(S = 45 \cdot 8 = 360\) см\(^2\).
Площадь второго треугольника составляет \(360\) квадратных сантиметров.

3. Расчет радиуса вписанной окружности \(r\):
Радиус вписанной окружности \(r\) для второго треугольника также вычисляется по формуле \(r = \frac{S}{p}\), которая является прямым следствием связи между площадью треугольника, его полупериметром и радиусом вписанной окружности. Эта формула демонстрирует, как компактно площадь треугольника связана с его внутренней геометрией.
Используя вычисленные значения площади \(S = 360\) см\(^2\) и полупериметра \(p = 45\) см, подставим их в формулу:
\(r = \frac{360}{45}\)
Выполним деление:
\(r = 8\) см.
Следовательно, радиус вписанной окружности для второго треугольника равен \(8\) см.

4. Расчет радиуса описанной окружности \(R\):
Радиус описанной окружности \(R\) для второго треугольника определяется по формуле \(R = \frac{abc}{4S}\). Эта формула подчеркивает взаимосвязь между длинами сторон треугольника, его площадью и радиусом окружности, которая уникальным образом проходит через все его вершины.
Подставим значения длин сторон \(a=25\), \(b=29\), \(c=36\) и вычисленной площади \(S=360\) см\(^2\) в формулу:
\(R = \frac{25 \cdot 29 \cdot 36}{4 \cdot 360}\)
Выполним умножение в знаменателе: \(4 \cdot 360 = 1440\).
Таким образом, \(R = \frac{25 \cdot 29 \cdot 36}{1440}\).
Для упрощения дроби, можно заметить, что 36 является делителем 1440 (\(1440 \div 36 = 40\)).
Тогда дробь упрощается до: \(R = \frac{25 \cdot 29}{40}\).
Теперь можно сократить 25 и 40 на их общий делитель 5: \(25 \div 5 = 5\), \(40 \div 5 = 8\).
Получаем: \(R = \frac{5 \cdot 29}{8}\)
Выполним умножение в числителе: \(5 \cdot 29 = 145\).
Таким образом, \(R = \frac{145}{8}\) см.
Радиус описанной окружности для второго треугольника составляет \(R = \frac{145}{8}\) см.