ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сторона правильного многоугольника равна \(a\), радиус описанной окружности равен \(R\). Найдите радиус вписанной окружности.

Чтобы найти радиус вписанной окружности правильного многоугольника с длиной стороны \(a\) и радиусом описанной окружности \(R\), используем формулу \(r = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\), где \(n\) — количество сторон. Сторону \(a\) можно выразить через \(R\) как \(a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Подставив это значение, получаем \(r = \frac{\sqrt{4R^2 — a^2}}{2}\). Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\frac{\sqrt{4R^2 — a^2}}{2}\).

Чтобы найти радиус вписанной окружности правильного многоугольника, начнем с определения необходимых параметров. Пусть \( a \) — длина стороны правильного многоугольника, а \( R \) — радиус описанной окружности. Для правильного многоугольника с \( n \) сторонами, радиус вписанной окружности \( r \) можно выразить через сторону \( a \) и радиус \( R \).

Сначала выразим сторону \( a \) через радиус \( R \). Сторона правильного многоугольника связана с радиусом описанной окружности следующим образом: \( a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \). Это уравнение показывает, что длина стороны зависит от радиуса описанной окружности и угла, соответствующего половине угла при вершине многоугольника.

Теперь подставим выражение для стороны \( a \) в формулу радиуса вписанной окружности. Радиус вписанной окружности также можно выразить через сторону \( a \) и количество сторон \( n \): \( r = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \). Подставив \( a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \) в это уравнение, получаем:

\( r = \frac{2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \).

Сократив \( 2 \) в числителе и знаменателе, получаем:

\( r = R \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \).

Так как \( \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} \), мы можем переписать выражение для радиуса вписанной окружности как:

\( r = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Теперь выразим \( \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \) через сторону \( a \) и радиус \( R \). Из предыдущего уравнения \( a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \) можем выразить \( \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \):

\( \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a}{2R} \).

Подставив это значение в выражение для \( r \), получаем:

\( r = R \sqrt{1 — \left(\frac{a}{2R}\right)^2} \).

Раскроем скобки:

\( r = R \sqrt{1 — \frac{a^2}{4R^2}} \).

Умножив под корнем на \( 4R^2 \), получаем:

\( r = R \sqrt{\frac{4R^2 — a^2}{4R^2}} = \frac{\sqrt{4R^2 — a^2}}{2} \).

Таким образом, радиус вписанной окружности правильного многоугольника равен \( \frac{\sqrt{4R^2 — a^2}}{2} \).