ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника равны соответственно \(r\) и \(R\). Найдите сторону многоугольника

Для нахождения стороны правильного многоугольника с радиусами вписанной (\(r\)) и описанной (\(R\)) окружностей можно использовать соотношение между ними. Сторона многоугольника выражается формулой \(a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\) и \(r = R \cdot \frac{\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\). Из этих уравнений можно вывести, что \(a = 2\sqrt{R^2 — r^2}\). Таким образом, ответ:

\[
a = 2\sqrt{R^2 — r^2}
\]

Сторона правильного многоугольника может быть выражена через радиусы вписанной и описанной окружностей. Радиус вписанной окружности \( r \) и радиус описанной окружности \( R \) связаны с длиной стороны \( a \) многоугольника следующим образом:

Радиус вписанной окружности для правильного многоугольника с \( n \) сторонами определяется как \( r = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \).

Радиус описанной окружности определяется как \( R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \).

Из этих двух формул можно выразить сторону \( a \) через радиусы \( r \) и \( R \). Мы можем выразить \( a \) через \( r \):

\( a = 2r \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Теперь выразим \( \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \) через \( R \):

Из второй формулы получаем \( a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Приравняв два выражения для \( a \), получаем:

\( 2r \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Сократим на 2:

\( r \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Теперь, используя соотношение \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), получаем:

\( r \cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} = R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Сократив \( \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \) (при условии, что \( n > 3 \)), получаем:

\( r = R \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Теперь можем выразить \( R^2 — r^2 \):

\( R^2 — r^2 = R^2 — R^2 \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right) = R^2(1 — \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)) = R^2 \sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Таким образом, \( \sqrt{R^2 — r^2} = R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Теперь подставим это в выражение для стороны \( a \):

\( a = 2\sqrt{R^2 — r^2} = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \).

Следовательно, окончательный ответ:

\( a = 2\sqrt{R^2 — r^2} \).