ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сторона правильного многоугольника равна \(a\), радиус вписанной окружности равен \(r\). Найдите радиус описанной окружности.

Для правильного многоугольника радиус описанной окружности \( R \) можно выразить через радиус вписанной окружности \( r \) и сторону \( a \) следующим образом: \( R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \). Это происходит потому, что для правильного многоугольника выполняется соотношение \( R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \). Подставляя, получаем окончательный ответ: \( R = \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}} \).

Для правильного многоугольника, состоящего из \( n \) сторон, длина стороны обозначается как \( a \), а радиус вписанной окружности — как \( r \). Радиус вписанной окружности можно выразить через сторону и количество сторон по формуле \( r = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \). Также радиус описанной окружности, обозначаемый как \( R \), может быть выражен как \( R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \).

Существует соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей для правильного многоугольника, которое можно вывести из геометрических соотношений. Это соотношение записывается как \( R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \).

Подставляя выражение для радиуса вписанной окружности в это уравнение, мы получаем \( R^2 = r^2 + \frac{a^2}{4} \). Таким образом, радиус описанной окружности можно найти, взяв квадратный корень из обеих сторон: \( R = \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}} \).

Это выражение показывает, что радиус описанной окружности зависит как от радиуса вписанной окружности, так и от длины стороны многоугольника. Следовательно, окончательный ответ для радиуса описанной окружности правильного многоугольника будет записан как \( R = \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}} \).