ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В окружность вписан квадрат со стороной \(6\sqrt{2}\) см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

В окружность, вписанную в квадрат со стороной \(6\sqrt{2}\) см, радиус \(r\) равен \(3\sqrt{2}\) см. Для правильного треугольника, описанного около этой окружности, сторона \(a\) вычисляется по формуле \(a = 2r\sqrt{3}\). Подставив значение радиуса, получаем \(a = 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) см. Таким образом, сторона правильного треугольника равна \(12\sqrt{3}\) см.

В окружность, вписанную в квадрат со стороной \(6\sqrt{2}\) см, радиус вписанной окружности \(r\) определяется как половина длины стороны квадрата. Поэтому, рассчитывая радиус, мы получаем \(r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см. Теперь, чтобы найти сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности, необходимо использовать формулу, связывающую радиус описанной окружности \(R\) и сторону треугольника \(a\). Для правильного треугольника радиус описанной окружности можно выразить через сторону как \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Также существует другая формула, связывающая радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности: \(R = \frac{2r}{\sqrt{3}}\). Подставляя найденный ранее радиус \(r\), получаем \(R = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), что дает \(R = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}\). Теперь, зная значение радиуса \(R\), подставим его в формулу для радиуса описанной окружности: \(2\sqrt{6} = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Умножив обе стороны уравнения на \(\sqrt{3}\), получаем \(a = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}\). Упрощая это выражение, мы получаем \(a = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Теперь, чтобы найти сторону треугольника, необходимо учесть, что для правильного треугольника, описанного вокруг окружности, сторона \(a\) равна \(a = 2R\sqrt{3}\). Подставляя значение \(R = 2\sqrt{6}\), мы имеем \(a = 2 \cdot 2\sqrt{6}\sqrt{3} = 4\sqrt{18} = 12\sqrt{3}\). Таким образом, сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна \(12\sqrt{3}\) см.