ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что все диагонали правильного пятиугольника равны.

Все диагонали правильного пятиугольника равны благодаря его симметрии. Вершины можно расположить в координатной системе, и длины диагоналей, например, \( AC \) и \( BD \), вычисляются как \( d_{AC} = \sqrt{\left(r \cos\frac{4\pi}{5} — r\right)^2 + \left(r \sin\frac{4\pi}{5}\right)^2} \) и \( d_{BD} = \sqrt{\left(r \cos\frac{6\pi}{5} — r \cos\frac{2\pi}{5}\right)^2 + \left(r \sin\frac{6\pi}{5} — r \sin\frac{2\pi}{5}\right)^2} \). Упрощая, можно показать, что все диагонали равны, что подтверждается их симметрией и свойствами тригонометрии.

Все диагонали правильного пятиугольника равны из-за его симметрии и свойств равносторонних многоугольников. Рассмотрим правильный пятиугольник с вершинами \( A, B, C, D, E \). Все стороны этого пятиугольника равны, и все углы равны \( 108^\circ \).

Для доказательства равенства диагоналей можно использовать координатный метод. Поместим пятиугольник в координатную систему, где его центр совпадает с началом координат, а радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника, равен \( r \). Вершины будут иметь следующие координаты:

\( A(r, 0) \),
\( B\left(r \cos\frac{2\pi}{5}, r \sin\frac{2\pi}{5}\right) \),
\( C\left(r \cos\frac{4\pi}{5}, r \sin\frac{4\pi}{5}\right) \),
\( D\left(r \cos\frac{6\pi}{5}, r \sin\frac{6\pi}{5}\right) \),
\( E\left(r \cos\frac{8\pi}{5}, r \sin\frac{8\pi}{5}\right) \).

Теперь вычислим длины диагоналей, например, \( AC \) и \( BD \). Длина диагонали \( AC \) равна:

\( d_{AC} = \sqrt{\left(r \cos\frac{4\pi}{5} — r\right)^2 + \left(r \sin\frac{4\pi}{5} — 0\right)^2} \).

Упрощая, получаем:

\( d_{AC} = r \sqrt{\left(\cos\frac{4\pi}{5} — 1\right)^2 + \sin^2\frac{4\pi}{5}} \).

Аналогично, для диагонали \( BD \):

\( d_{BD} = \sqrt{\left(r \cos\frac{6\pi}{5} — r \cos\frac{2\pi}{5}\right)^2 + \left(r \sin\frac{6\pi}{5} — r \sin\frac{2\pi}{5}\right)^2} \).

После упрощения получаем:

\( d_{BD} = r \sqrt{\left(\cos\frac{6\pi}{5} — \cos\frac{2\pi}{5}\right)^2 + \left(\sin\frac{6\pi}{5} — \sin\frac{2\pi}{5}\right)^2} \).

Используя свойства тригонометрических функций и симметрию, можно показать, что \( d_{AC} = d_{BD} \). Аналогичным образом можно доказать равенство всех других диагоналей, таких как \( AD, BE \) и \( CE \). В результате все диагонали правильного пятиугольника имеют одинаковую длину, что и подтверждает их равенство.