ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

В правильном пятиугольнике \( ABCDE \) каждая диагональ параллельна одной из сторон. Например, диагональ \( AC \) параллельна стороне \( BE \) из-за равенства углов \( \angle ACB \) и \( \angle ABC \), которые составляют \( 108^\circ \). Аналогично, \( AD \parallel BC \), \( BD \parallel AE \), \( BE \parallel AC \) и \( CE \parallel AD \). Это основано на свойствах углов и равенстве сумм углов в треугольниках.

Для доказательства того, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон, рассмотрим правильный пятиугольник \( ABCDE \). В этом пятиугольнике все стороны равны, и все углы равны \( 108^\circ \).

Рассмотрим диагонали \( AC \), \( AD \), \( BD \), \( BE \) и \( CE \). Мы будем анализировать каждую из них по отдельности и показывать их параллельность к соответствующим сторонам.

1. Диагональ \( AC \):
Углы \( \angle ACB \) и \( \angle CAB \) составляют \( 108^\circ \). Поскольку \( ABC \) является треугольником, сумма углов в нем равна \( 180^\circ \). Таким образом, угол \( \angle ACB + \angle ABC = 108^\circ + 108^\circ = 216^\circ \). Это означает, что угол \( \angle ACB \) и угол \( \angle ABC \) вместе создают угол, который равен \( 180^\circ \). Следовательно, \( AC \) параллельно \( BE \).

2. Диагональ \( AD \):
Аналогично, рассмотрим углы \( \angle ADB \) и \( \angle DAB \). Эти углы также равны \( 108^\circ \). В треугольнике \( ABD \) сумма углов равна \( 180^\circ \). Таким образом, \( \angle ADB + \angle ABD = 108^\circ + 108^\circ = 216^\circ \). Это также указывает на то, что диагональ \( AD \) параллельна стороне \( BC \).

3. Диагональ \( BD \):
Рассмотрим углы \( \angle BDC \) и \( \angle DBC \). Эти углы равны \( 108^\circ \). В треугольнике \( BDC \) сумма углов равна \( 180^\circ \). Следовательно, \( \angle BDC + \angle DBC = 108^\circ + 108^\circ = 216^\circ \). Это также подтверждает, что диагональ \( BD \) параллельна стороне \( AE \).

4. Диагональ \( BE \):
Аналогично, углы \( \angle BEC \) и \( \angle EBC \) равны \( 108^\circ \). В треугольнике \( BEC \) сумма углов равна \( 180^\circ \). Следовательно, \( \angle BEC + \angle EBC = 108^\circ + 108^\circ = 216^\circ \). Это указывает на то, что диагональ \( BE \) параллельна стороне \( AC \).

5. Диагональ \( CE \):
Рассмотрим углы \( \angle CEA \) и \( \angle ECA \). Эти углы также равны \( 108^\circ \). В треугольнике \( CEA \) сумма углов равна \( 180^\circ \). Таким образом, \( \angle CEA + \angle ECA = 108^\circ + 108^\circ = 216^\circ \). Это показывает, что диагональ \( CE \) параллельна стороне \( AD \).

Таким образом, каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон, что подтверждается анализом углов и свойствами треугольников в правильном пятиугольнике.