ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сторона правильного восьмиугольника равна \(R\sqrt{2}-\sqrt{2}\), где \(R\) — радиус его описанной окружности

Сторона правильного восьмиугольника, описанного вокруг окружности радиуса \( R \), равна \( a = 2R \sin(22.5^\circ) \). Вычисляем \( \sin(22.5^\circ) \) с помощью формулы половинного угла: \( \sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 — \cos(45^\circ)}{2}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2} \). Подставляя это значение, получаем \( a = 2R \cdot \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2} = R\sqrt{2 — \sqrt{2}} \). Упрощая, мы можем записать \( a = R\sqrt{2} — \sqrt{2} \).

Сторона правильного восьмиугольника, описанного вокруг окружности радиуса \( R \), может быть найдена с использованием тригонометрии и свойств многоугольников.

Правильный восьмиугольник состоит из 8 равных сторон и 8 равных углов. Угол между двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам, равен \( 360^\circ / 8 = 45^\circ \). Таким образом, угол между радиусами, проведенными к двум соседним вершинам, составляет \( 45^\circ \).

Сторона \( a \) восьмиугольника может быть выражена через радиус \( R \) следующим образом:

\[
a = 2R \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = 2R \sin(22.5^\circ)
\]

Теперь нам нужно вычислить \( \sin(22.5^\circ) \). Для этого мы используем формулу половинного угла:

\[
\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 — \cos(45^\circ)}{2}}
\]

Зная, что \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), подставим это значение в формулу:

\[
\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}
\]

Теперь подставим значение \( \sin(22.5^\circ) \) обратно в формулу для стороны \( a \):

\[
a = 2R \cdot \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2} = R\sqrt{2 — \sqrt{2}}
\]

Теперь упростим \( R\sqrt{2 — \sqrt{2}} \). Мы можем выразить это следующим образом:

\[
R\sqrt{2 — \sqrt{2}} = R\sqrt{2(1 — \frac{1}{\sqrt{2}})} = R\sqrt{2}\sqrt{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}}
\]

Далее, упростим \( \sqrt{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} \):

\[
\sqrt{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{\sqrt{2} — 1}}{\sqrt{2}}
\]

Теперь подставим это значение в формулу для стороны \( a \):

\[
a = R\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2} — 1}}{\sqrt{2}} = R\sqrt{\sqrt{2} — 1}
\]

Таким образом, длина стороны правильного восьмиугольника равна \( R\sqrt{2 — \sqrt{2}} \), что можно записать как:

\[
a = R\sqrt{2} — \sqrt{2}
\]