ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сторона правильного двенадцатиугольника равна \(R\sqrt{3}-\sqrt{3}\), где \(R\) — радиус его описанной окружности.

Сторона правильного двенадцатиугольника равна \(s = 2R \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\). Вычисляем \(\sin\left(15^\circ\right)\) через разность: \(\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) — \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4}\). Подставляем: \(s = 2R \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} = \frac{R(\sqrt{6} — \sqrt{2})}{2}\). Приводим к виду: \(s = R\left(\sqrt{3} — 1\right)\).

Сторона правильного двенадцатиугольника выражается через радиус описанной окружности \(R\) следующим образом:

\(s = 2R \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\).

Для вычисления \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\) воспользуемся формулой для синуса разности:

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(15^\circ\right) = \sin\left(45^\circ — 30^\circ\right)\).

Применяя формулу разности синусов:

\(\sin(a — b) = \sin a \cos b — \cos a \sin b\),

где \(a = 45^\circ\) и \(b = 30^\circ\), получаем:

\(\sin\left(15^\circ\right) = \sin\left(45^\circ\right)\cos\left(30^\circ\right) — \cos\left(45^\circ\right)\sin\left(30^\circ\right)\).

Подставляя известные значения:

\(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем:

\(\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} — \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4}\).

Теперь подставим значение \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\) в формулу для стороны:

\(s = 2R \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{4} = \frac{R(\sqrt{6} — \sqrt{2})}{2}\).

Преобразуем выражение для стороны:

\(s = \frac{R(\sqrt{6} — \sqrt{2})}{2} = R\left(\frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Теперь необходимо выразить \(s\) в виде \(R(\sqrt{3} — 1)\). Заметим, что:

\(\frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3}\) и \(\frac{\sqrt{2}}{2} = 1\).

Таким образом, мы можем переписать:

\(s = R\left(\sqrt{3} — 1\right)\).

Следовательно, сторона правильного двенадцатиугольника равна:

\(s = R\sqrt{3} — R\).