ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь правильного восьмиугольника, если радиус описанной около него окружности равен \(R\).

Площадь правильного восьмиугольника, описанного около окружности радиуса \(R\), можно найти, используя формулу площади одного из восьми равных треугольников, образованных радиусами. Угол при вершине каждого треугольника равен \(45^\circ\), и площадь одного треугольника составляет \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(45^\circ) = \frac{R^2 \sqrt{2}}{4}\). Умножив площадь одного треугольника на 8, получаем общую площадь восьмиугольника: \(S = 8 \cdot \frac{R^2 \sqrt{2}}{4} = 2R^2\sqrt{2}\). Таким образом, площадь правильного восьмиугольника равна \(S = 2R^2\sqrt{2}\).

Площадь правильного восьмиугольника, описанного около окружности радиуса \(R\), можно найти, используя формулу площади в зависимости от радиуса описанной окружности.

Правильный восьмиугольник состоит из 8 равных треугольников, каждый из которых имеет вершину в центре окружности и основание на окружности. Площадь одного из этих треугольников можно найти, используя следующие шаги:

1. Угол при вершине каждого треугольника равен \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \).
2. Площадь одного треугольника можно выразить через формулу:
\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(45^\circ)
\]
3. Значение \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно, площадь одного треугольника равна:
\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R^2 \sqrt{2}}{4}
\]
4. Умножив площадь одного треугольника на количество треугольников (8), получаем общую площадь восьмиугольника:
\[
S = 8 \cdot \frac{R^2 \sqrt{2}}{4} = 2R^2\sqrt{2}
\]

Таким образом, окончательная формула для площади правильного восьмиугольника, описанного около окружности радиуса \(R\), будет:
\[
S = 2R^2\sqrt{2}
\]