ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите диагонали и площадь правильного шестиугольника, сторона которого равна \(a\).

Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\). Диагональ, соединяющая вершины, пропуская одну вершину, имеет длину \(a\sqrt{3}\), а диагональ, пропуская две вершины, равна \(2a\).

Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле \(S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\). Эта формула основана на разбиении шестиугольника на шесть равносторонних треугольников. Каждый из этих треугольников имеет основание \(a\) и высоту, равную \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Площадь одного треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Умножив площадь одного треугольника на 6, получаем общую площадь шестиугольника: \(6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\).

Теперь рассмотрим длины диагоналей. В правильном шестиугольнике есть две основные категории диагоналей. Первая категория включает диагонали, которые соединяют вершины, пропуская одну вершину. Для такой диагонали, например, соединяющей вершину 1 и вершину 3, длина определяется с использованием теоремы Пифагора. Если мы проведем радиусы, соединяющие центр шестиугольника с вершинами, то образуется равносторонний треугольник с углом в \(120^\circ\). Длина такой диагонали равна \(a\sqrt{3}\).

Вторая категория диагоналей соединяет вершины, пропуская две вершины. Например, диагональ, соединяющая вершину 1 и вершину 4, проходит через центр шестиугольника и равна удвоенной длине стороны, то есть \(2a\). Это также можно обосновать с помощью теоремы Пифагора, где диагональ образует прямоугольный треугольник с двумя сторонами, равными \(a\), что дает длину диагонали \(2a\).

Таким образом, для правильного шестиугольника со стороной \(a\) мы имеем: площадь \(S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\), длину диагонали, пропуская одну вершину \(a\sqrt{3}\), и длину диагонали, пропуская две вершины \(2a\).