ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Углы квадрата со стороной 6 см срезали так, что получили правильный восьмиугольник. Найдите сторону полученного шестиугольника.

Сторона квадрата \( a = 6 \) см. При срезании углов образуется правильный восьмиугольник. Сторона восьмиугольника \( a_8 \) равна \( a_8 = 6(\sqrt{2} — 1) \).

Сторона квадрата равна \( a = 6 \) см. При срезании углов квадрата, образуются равнобедренные треугольники с углом \( 45^\circ \) у вершины. Эти треугольники имеют равные стороны, и их длина равна \( x \).

Сторона правильного восьмиугольника \( a_8 \) выражается через сторону квадрата следующим образом:

1. В каждом углу квадрата срезается треугольник, и при этом остаётся часть квадрата, которая формирует стороны восьмиугольника.
2. Длина стороны восьмиугольника \( a_8 \) равна длине стороны квадрата минус два отрезанных отрезка \( x \), которые равны \( x = a \cdot (1 — \frac{1}{\sqrt{2}}) \).
3. Таким образом, сторона правильного восьмиугольника может быть выражена как:

\[
a_8 = a \cdot (1 — \frac{1}{\sqrt{2}})
\]

4. Подставляем значение стороны квадрата:

\[
a_8 = 6 \cdot (1 — \frac{1}{\sqrt{2}})
\]

5. Упрощаем выражение:

\[
a_8 = 6 \cdot (1 — \frac{\sqrt{2}}{2}) = 6 \cdot \frac{2 — \sqrt{2}}{2} = 3(2 — \sqrt{2})
\]

6. Однако, правильный восьмиугольник также можно выразить через другую формулу, учитывая срезанные углы:

\[
a_8 = a \cdot (\sqrt{2} — 1)
\]

7. Подставляя значение стороны квадрата, получаем:

\[
a_8 = 6 \cdot (\sqrt{2} — 1)
\]

Таким образом, сторона полученного правильного восьмиугольника равна \( 6(\sqrt{2} — 1) \).