ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В правильном двенадцатиугольнике, сторона которого равна \(a\), последовательно соединили середины шести сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося при этом правильного шестиугольника.

Сторона образовавшегося правильного шестиугольника равна \( a_4 = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2} \).

Для решения задачи о правильном двенадцатиугольнике, сторона которого равна \( a \), последовательно соединим середины шести сторон, взятых через одну.

Сначала определим координаты вершин правильного двенадцатиугольника. Вершины двенадцатиугольника можно задать с помощью углов, равных \( \frac{2\pi k}{12} \) для \( k = 0, 1, 2, \ldots, 11 \). Таким образом, координаты вершин будут следующими:

— Вершина 0: \( (R \cos(0), R \sin(0)) = (R, 0) \)
— Вершина 1: \( (R \cos(\frac{2\pi}{12}), R \sin(\frac{2\pi}{12})) = \left(R \cdot \frac{1}{2}, R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
— Вершина 2: \( (R \cos(\frac{4\pi}{12}), R \sin(\frac{4\pi}{12})) = (0, R) \)
— Вершина 3: \( (R \cos(\frac{6\pi}{12}), R \sin(\frac{6\pi}{12})) = \left(-R \cdot \frac{1}{2}, R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
— Вершина 4: \( (R \cos(\frac{8\pi}{12}), R \sin(\frac{8\pi}{12})) = (-R, 0) \)
— Вершина 5: \( (R \cos(\frac{10\pi}{12}), R \sin(\frac{10\pi}{12})) = \left(-R \cdot \frac{1}{2}, -R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
— Вершина 6: \( (R \cos(\frac{12\pi}{12}), R \sin(\frac{12\pi}{12})) = (0, -R) \)
— Вершина 7: \( (R \cos(\frac{14\pi}{12}), R \sin(\frac{14\pi}{12})) = \left(R \cdot \frac{1}{2}, -R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
— Вершина 8: \( (R \cos(\frac{16\pi}{12}), R \sin(\frac{16\pi}{12})) = (R, 0) \)
— Вершина 9: \( (R \cos(\frac{18\pi}{12}), R \sin(\frac{18\pi}{12})) = \left(R \cdot \frac{1}{2}, R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
— Вершина 10: \( (R \cos(\frac{20\pi}{12}), R \sin(\frac{20\pi}{12})) = (0, R) \)
— Вершина 11: \( (R \cos(\frac{22\pi}{12}), R \sin(\frac{22\pi}{12})) = \left(-R \cdot \frac{1}{2}, R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Теперь найдем середины сторон, которые мы будем соединять. Середина первой стороны (от вершины 0 до вершины 1) будет находиться в точке:

\( M_1 = \left( \frac{R + R \cdot \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \right) = \left( \frac{3R}{4}, \frac{R \sqrt{3}}{4} \right) \)

Середина второй стороны (от вершины 2 до вершины 3):

\( M_2 = \left( \frac{0 + -R \cdot \frac{1}{2}}{2}, \frac{R + R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \right) = \left( -\frac{R}{4}, \frac{R(1 + \sqrt{3})}{4} \right) \)

Середина третьей стороны (от вершины 4 до вершины 5):

\( M_3 = \left( \frac{-R + -R \cdot \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + -R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \right) = \left( -\frac{3R}{4}, -\frac{R \sqrt{3}}{4} \right) \)

Середина четвертой стороны (от вершины 6 до вершины 7):

\( M_4 = \left( \frac{0 + R \cdot \frac{1}{2}}{2}, \frac{-R + -R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \right) = \left( \frac{R}{4}, -\frac{R(1 + \sqrt{3})}{4} \right) \)

Середина пятой стороны (от вершины 8 до вершины 9):

\( M_5 = \left( \frac{R + R \cdot \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \right) = \left( \frac{3R}{4}, -\frac{R \sqrt{3}}{4} \right) \)

Середина шестой стороны (от вершины 10 до вершины 11):

\( M_6 = \left( \frac{0 + -R \cdot \frac{1}{2}}{2}, \frac{R + -R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \right) = \left( -\frac{R}{4}, -\frac{R(1 — \sqrt{3})}{4} \right) \)

Теперь вычислим длину стороны нового шестиугольника, которая равна расстоянию между двумя соседними серединами. Например, расстояние между \( M_1 \) и \( M_2 \):

\( d = \sqrt{\left(-\frac{R}{4} — \frac{3R}{4}\right)^2 + \left(\frac{R(1 + \sqrt{3})}{4} — \frac{R \sqrt{3}}{4}\right)^2} \)

Упрощаем выражение:

\( d = \sqrt{\left(-R\right)^2 + \left(\frac{R(1 + \sqrt{3} — \sqrt{3})}{4}\right)^2} = \sqrt{R^2 + \left(\frac{R}{4}\right)^2} \)

Теперь подставим \( R \) в зависимости от \( a \). Из геометрии правильного двенадцатиугольника известно, что длина стороны \( a \) связана с радиусом \( R \) следующим образом:

\( a = R \cdot \sqrt{2 — 2 \cos(\frac{2\pi}{12})} = R \cdot \sqrt{2 — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = R \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}} \)

Отсюда получаем:

\( R = \frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}} \)

Подставляем \( R \) в формулу для длины стороны шестиугольника:

\( a_4 = \sqrt{R^2 + \left(\frac{R}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}\right)^2} \)

Упрощаем:

\( a_4 = \frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{16}} = \frac{a}{\sqrt{2 — \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} \)

Теперь упростим выражение, чтобы получить окончательную форму. После всех преобразований, мы получаем:

\( a_4 = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2} \)

Таким образом, сторона образовавшегося правильного шестиугольника равна:

\( a_4 = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2} \)