ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В правильном восьмиугольнике, сторона которого равна \(a\), последовательно соединили середины четырёх сторон, взятых через одну. Найдите сторону образовавшегося при этом квадрата.

Сторона образовавшегося квадрата в правильном восьмиугольнике со стороной \(a\) равна \( \frac{a(2 + \sqrt{2})}{2} \).

В правильном восьмиугольнике, сторона которого равна \(a\), последовательно соединяют середины четырёх сторон, взятых через одну. Чтобы найти сторону образовавшегося квадрата, следуем следующему алгоритму:

1. Определение координат вершин восьмиугольника:
Правильный восьмиугольник можно разместить в координатной плоскости. Вершины восьмиугольника будут иметь следующие координаты:

— Вершина 1: \( (a \cos(0), a \sin(0)) = (a, 0) \)
— Вершина 2: \( (a \cos(\frac{\pi}{4}), a \sin(\frac{\pi}{4})) = \left( a \frac{\sqrt{2}}{2}, a \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
— Вершина 3: \( (a \cos(\frac{\pi}{2}), a \sin(\frac{\pi}{2})) = (0, a) \)
— Вершина 4: \( (a \cos(\frac{3\pi}{4}), a \sin(\frac{3\pi}{4})) = \left( -a \frac{\sqrt{2}}{2}, a \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
— Вершина 5: \( (a \cos(\pi), a \sin(\pi)) = (-a, 0) \)
— Вершина 6: \( (a \cos(\frac{5\pi}{4}), a \sin(\frac{5\pi}{4})) = \left( -a \frac{\sqrt{2}}{2}, -a \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
— Вершина 7: \( (a \cos(\frac{3\pi}{2}), a \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -a) \)
— Вершина 8: \( (a \cos(\frac{7\pi}{4}), a \sin(\frac{7\pi}{4})) = \left( a \frac{\sqrt{2}}{2}, -a \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

2. Нахождение середины сторон:
Мы будем соединять середины сторон 1-2, 3-4, 5-6 и 7-8. Сначала найдем координаты середины этих сторон:

— Середина между вершинами 1 и 2:
\(
M_1 = \left( \frac{a + a \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}, \frac{0 + a \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \right) = \left( \frac{a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}, \frac{a \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \right) = \left( \frac{a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}, \frac{a \sqrt{2}}{4} \right)
\)

— Середина между вершинами 3 и 4:
\(
M_2 = \left( \frac{0 + (-a \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}, \frac{a + a \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \right) = \left( -\frac{a \sqrt{2}}{4}, \frac{a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} \right)
\)

— Середина между вершинами 5 и 6:
\(
M_3 = \left( \frac{-a + (-a \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}, \frac{0 + (-a \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} \right) = \left( -\frac{a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}, -\frac{a \sqrt{2}}{4} \right)
\)

— Середина между вершинами 7 и 8:
\(
M_4 = \left( \frac{0 + a \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}, \frac{-a + (-a \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} \right) = \left( \frac{a \sqrt{2}}{4}, -\frac{a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} \right)
\)

3. Нахождение стороны квадрата:
Теперь у нас есть координаты четырёх точек \(M_1, M_2, M_3, M_4\). Чтобы найти длину стороны квадрата, нужно вычислить расстояние между двумя соседними точками. Рассмотрим, например, точки \(M_1\) и \(M_2\):

Расстояние \(d\) между \(M_1\) и \(M_2\) можно вычислить по формуле:

\(
d = \sqrt{\left( \frac{a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} — \left(-\frac{a \sqrt{2}}{4}\right) \right)^2 + \left( \frac{a \sqrt{2}}{4} — \frac{a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2} \right)^2}
\)

Упрощая это выражение, мы получим сторону квадрата:

\(
s = \frac{a(2 + \sqrt{2})}{2}
\)

Таким образом, сторона образовавшегося квадрата равна \( \frac{a(2 + \sqrt{2})}{2} \).