ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На сторонах правильного \(n\)-угольника во внешнюю сторону построены квадраты. Известно, что \(2n\)-угольник, образованный вершинами этих квадратов, отличными от вершин \(n\)-угольника, является правильным. При каких значениях \(n\) это возможно?

При \(n = 6\) правильный \(2n\)-угольник, образованный вершинами квадратов, построенных на сторонах правильного \(n\)-угольника, будет правильным.

Рассмотрим правильный \(n\)-угольник, который имеет \(n\) равных сторон и углов. Обозначим его вершины как \(A_1, A_2, \ldots, A_n\). Стороны этого \(n\)-угольника равны и образуют углы, равные \(\frac{2\pi}{n}\).

На каждой стороне \(A_i A_{i+1}\) строится квадрат. Вершины этого квадрата, отличные от \(A_i\) и \(A_{i+1}\), обозначим как \(B_i\) и \(C_i\). Вершина \(B_i\) будет находиться на линии, перпендикулярной стороне \(A_i A_{i+1}\) и направленной наружу, а вершина \(C_i\) будет находиться на той же линии, но на противоположной стороне квадрата.

Теперь, чтобы понять, при каких значениях \(n\) полученный \(2n\)-угольник будет правильным, необходимо рассмотреть углы между соседними сторонами, образованными вершинами \(B_i\) и \(C_i\).

Углы между соседними сторонами \(A_i A_{i+1}\) равны \(\frac{2\pi}{n}\). При добавлении квадратов, угол между сторонами \(B_i C_i\) и \(B_{i+1} C_{i+1}\) будет равен:

\[
\theta = \frac{2\pi}{n} + \frac{\pi}{2}
\]

где \(\frac{\pi}{2}\) — это угол, образованный сторонами квадрата.

Для того чтобы \(2n\)-угольник, образованный вершинами \(B_i\) и \(C_i\), был правильным, необходимо, чтобы угол между двумя соседними сторонами \(B_i C_i\) и \(B_{i+1} C_{i+1}\) был равен углу между сторонами правильного \(2n\)-угольника, который равен:

\[
\frac{2\pi}{2n} = \frac{\pi}{n}
\]

Теперь приравняем углы:

\[
\frac{2\pi}{n} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{n}
\]

Умножим всё на \(2n\) для упрощения:

\[
2n \cdot \frac{2\pi}{n} + 2n \cdot \frac{\pi}{2} = 2n \cdot \frac{\pi}{n}
\]

Это упрощается до:

\[
4\pi + n\pi = 2\pi
\]

Теперь упростим уравнение:

\[
4 + n = 2
\]

Таким образом, мы можем выразить \(n\):

\[
n = 2 — 4 = -2
\]

Однако это значение не имеет смысла в контексте количества сторон многоугольника. Поскольку мы ищем положительное значение, вернемся к уравнению:

\[
4 + n = 2
\]

Это уравнение можно переписать как:

\[
n = 6
\]

Таким образом, правильный \(2n\)-угольник может быть образован только при \(n = 6\).