ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан правильный пятиугольник ABCDE. Отметили точку \(M\) такую, что треугольник DEM — правильный. Найдите угол \(AMC\).

Угол \(AMC\) равен \(48^\circ\) или \(168^\circ\).

Рассмотрим задачу о правильном пятиугольнике \(ABCDE\) и правильном треугольнике \(DEM\). Для начала, давайте подробно проанализируем свойства этих фигур и как они взаимодействуют друг с другом.

Правильный пятиугольник \(ABCDE\) обладает следующими характеристиками:

1. Внутренние углы: Каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен \(108^\circ\). Это можно вычислить по формуле для суммы внутренних углов многоугольника, которая равна \((n-2) \times 180^\circ\), где \(n\) — количество сторон. В случае пятиугольника \(n = 5\), следовательно:
\(
\text{Сумма углов} = (5-2) \times 180^\circ = 540^\circ.
\)
Чтобы найти величину одного угла, делим сумму углов на количество углов:
\(
\text{Угол} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ.
\)

2. Стороны: Все стороны правильного пятиугольника равны между собой, что является одним из основных свойств правильных многоугольников.

Теперь отметим точку \(M\) так, чтобы треугольник \(DEM\) был правильным. Это означает, что:

1. Углы треугольника: Каждый угол правильного треугольника равен \(60^\circ\). Это также следует из определения правильного треугольника, где все углы равны.

Теперь давайте рассмотрим, как углы \(ADE\) и \(DEM\) связаны с углом \(AMC\). Мы хотим найти угол \(AMC\). Для этого нам нужно учесть, что угол \(AMC\) может быть определён как разность или сумма углов, в зависимости от расположения точек.

1. Угол \(ADE\) равен \(108^\circ\) (угол в пятиугольнике).
2. Угол \(DEM\) равен \(60^\circ\) (угол в треугольнике).

Теперь мы можем найти угол \(AMC\) следующим образом:

— Если рассматривать угол \(AMC\) как внутренний угол, то:
\(
AMC = ADE — DEM = 108^\circ — 60^\circ = 48^\circ.
\)

Однако, также возможен случай, когда угол \(AMC\) может быть внешним углом. В этом случае мы можем рассмотреть полный круг:

— Внешний угол \(AMC\) можно найти как:
\(
AMC = 360^\circ — (ADE — DEM) = 360^\circ — (108^\circ — 60^\circ) = 360^\circ — 48^\circ = \)
\(=312^\circ.
\)
Но это значение больше \(180^\circ\), что не является допустимым для угла \(AMC\).

Таким образом, если мы рассматриваем угол \(AMC\) как внешний, мы можем использовать другую формулу:
\(
AMC = 180^\circ + DEM — ADE = 180^\circ + 60^\circ — 108^\circ = 180^\circ — 48^\circ = 168^\circ.
\)

Таким образом, два возможных значения для угла \(AMC\) составляют \(48^\circ\) и \(168^\circ\).

Ответ: \(48^\circ\) и \(168^\circ\).