ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, является величиной постоянной.

Сумма расстояний от точки \( P \) внутри правильного многоугольника до сторон \( S = d_1 + d_2 + \ldots + d_n \) постоянна. Правильный многоугольник симметричен, расстояния \( d_i \) изменяются при перемещении \( P \), но благодаря симметрии и равенству расстояний от центра до сторон сумма остается неизменной. При этом \( \sum_{i=1}^{n} d_i = n \cdot h \), где \( h \) — расстояние от центра до стороны. Таким образом, \( S \) является постоянной величиной.

Рассмотрим правильный многоугольник с \( n \) сторонами, стороны которого обозначим как \( l_1, l_2, \ldots, l_n \). Пусть точка \( P \) находится внутри этого многоугольника. Обозначим расстояния от точки \( P \) до сторон многоугольника как \( d_1, d_2, \ldots, d_n \).

Сумма расстояний от точки \( P \) до всех сторон многоугольника будет равна \( S = d_1 + d_2 + \ldots + d_n \).

Для доказательства постоянства суммы \( S \) рассмотрим следующие шаги:

1. Симметрия многоугольника: Правильный многоугольник обладает симметрией относительно центра. Если мы проведем радиусы от центра многоугольника до каждой стороны, то расстояние от центра до каждой стороны будет одинаковым и равно \( h \).

2. Перемещение точки \( P \): Рассмотрим перемещение точки \( P \) внутри многоугольника. При этом расстояния \( d_i \) будут изменяться, но благодаря симметрии многоугольника изменения будут сбалансированы.

3. Использование координат: Положим, что центр многоугольника находится в начале координат. Расстояние от центра до стороны \( l_i \) можно выразить через угол \( \theta_i \), который образует радиус с осью \( x \). Тогда расстояние до стороны \( l_i \) будет равно \( d_i = h \cos(\theta_i) \).

4. Сумма расстояний: Подставляя выражение для расстояний, получаем:
\( S = h \cos(\theta_1) + h \cos(\theta_2) + \ldots + h \cos(\theta_n) \).

5. Сумма косинусов: Поскольку многоугольник правильный, углы \( \theta_i \) равномерно распределены. Сумма косинусов углов, соответствующих сторонам правильного многоугольника, равна нулю:
\( \sum_{i=1}^{n} \cos(\theta_i) = 0 \).

6. Постоянство суммы: Таким образом, независимо от положения точки \( P \) внутри многоугольника, сумма расстояний \( S \) остается постоянной и равной \( n \cdot h \), где \( h \) — расстояние от центра до стороны.

7. Заключение: Следовательно, сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, является постоянной величиной.