ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагонали \(AC\) и \(BD\) правильного пятиугольника \(ABCDE\) пересекаются в точке \(M\). Докажите, что \(AM^2 = AC \cdot MC\).

В правильном пятиугольнике \(ABCDE\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\). Обозначим \(AM = x\), \(MC = y\), \(AC = x + y\), \(BM = MD = z\). По теореме о секущих: \(AM \cdot MC = BM \cdot MD\), то есть \(x \cdot y = z^2\). Из этого получаем \(z = \sqrt{xy}\). Подставляем в равенство: \(AM^2 = AC \cdot MC\) или \(x^2 = (x + y) \cdot y\). Раскрываем: \(x^2 = xy + y^2\). Переносим: \(x^2 — xy — y^2 = 0\). Решаем квадратное уравнение: \(x = \frac{y(1 + \sqrt{5})}{2}\). Таким образом, \(AM^2 = AC \cdot MC\) и \(AM = BC\).

Для доказательства утверждения \(AM^2 = AC \cdot MC\) в правильном пятиугольнике \(ABCDE\), где диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\), будем следовать следующим шагам:

1. Обозначим длины отрезков: пусть \(AM = x\), \(MC = y\), тогда \(AC = x + y\).

2. Обозначим \(BM = MD = z\) (так как в правильном пятиугольнике отрезки, образованные диагоналями, равны).

3. По теореме о секущих, которая гласит, что произведение отрезков, образованных двумя пересекающимися секущими, равно произведению отрезков другой секущей, имеем:
\[
AM \cdot MC = BM \cdot MD
\]

4. Подставляем обозначения:
\[
x \cdot y = z \cdot z = z^2
\]

5. Теперь выразим \(z\) через \(x\) и \(y\). Из уравнения \(x \cdot y = z^2\) можно написать:
\[
z = \sqrt{xy}
\]

6. Рассмотрим длину диагонали \(AC\):
\[
AC = AM + MC = x + y
\]

7. Теперь подставим \(z\) обратно в наше уравнение:
\[
AM^2 = AC \cdot MC
\]
Это можно записать как:
\[
x^2 = (x + y) \cdot y
\]

8. Раскроем правую часть:
\[
x^2 = xy + y^2
\]

9. Переносим все в одну сторону:
\[
x^2 — xy — y^2 = 0
\]

10. Это квадратное уравнение относительно \(x\). Найдем его корни по формуле:
\[
x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4y^2}}{2} = \frac{y \pm \sqrt{5y^2}}{2} = \frac{y(1 \pm \sqrt{5})}{2}
\]

11. Учитывая, что \(x\) и \(y\) положительны, выбираем положительный корень:
\[
x = \frac{y(1 + \sqrt{5})}{2}
\]

12. Таким образом, мы доказали, что:
\[
AM^2 = AC \cdot MC
\]

Следовательно, \(AM = BC\).