ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Существует ли правильный \(n\)-угольник, у которого одна из диагоналей равна сумме длин двух других диагоналей?
В правильном \(n\)-угольнике длина диагонали между вершинами \(i\) и \(j\) вычисляется по формуле \(d_{ij} = 2R \sin\left(\frac{\pi |i — j|}{n}\right)\). Рассмотрим правильный шестиугольник (\(n = 6\)). Длина диагонали \(d_{13} = R\sqrt{3}\), \(d_{14} = 2R\), \(d_{15} = R\sqrt{3}\). Условие \(d_{13} = d_{14} + d_{15}\) не выполняется. Теперь рассмотрим правильный восьмиугольник (\(n = 8\)). Длина диагонали \(d_{13} = R\sqrt{2}\) и \(d_{15} = 2R\). Условие \(d_{13} = d_{14} + d_{15}\) выполняется для определенных \(d_{14}\). Таким образом, существует правильный \(n\)-угольник, у которого одна диагональ равна сумме двух других.
Рассмотрим правильный \(n\)-угольник, у которого одна диагональ равна сумме двух других диагоналей. Для анализа задачи используем формулы для вычисления длины диагоналей.
Длина диагонали в правильном \(n\)-угольнике между вершинами \(i\) и \(j\) вычисляется по формуле:
\(d_{ij} = 2R \sin\left(\frac{\pi |i — j|}{n}\right)\)
где \(R\) — радиус описанной окружности.
Рассмотрим правильный шестиугольник (\(n = 6\)). В этом случае:
1. Вычислим длины диагоналей:
— \(d_{13} = 2R \sin\left(\frac{\pi \cdot 2}{6}\right) = 2R \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}\)
— \(d_{14} = 2R \sin\left(\frac{\pi \cdot 3}{6}\right) = 2R \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2R \cdot 1 = 2R\)
— \(d_{15} = 2R \sin\left(\frac{\pi \cdot 4}{6}\right) = 2R \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}\)
2. Теперь проверим, выполняется ли условие \(d_{13} = d_{14} + d_{15}\):
— Подставим значения: \(R\sqrt{3} = 2R + R\sqrt{3}\)
3. Упростим уравнение:
— \(R\sqrt{3} — R\sqrt{3} = 2R\)
— \(0 = 2R\)
Это уравнение не выполняется. Теперь попробуем другой \(n\)-угольник, например, правильный восьмиугольник (\(n = 8\)):
1. Вычислим длины диагоналей:
— \(d_{13} = 2R \sin\left(\frac{\pi \cdot 2}{8}\right) = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}\)
— \(d_{14} = 2R \sin\left(\frac{\pi \cdot 3}{8}\right)\)
— \(d_{15} = 2R \sin\left(\frac{\pi \cdot 4}{8}\right) = 2R \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2R\)
2. Проверим условие \(d_{13} = d_{14} + d_{15}\):
— Подставим значения: \(R\sqrt{2} = d_{14} + 2R\)
Таким образом, через различные \(n\) можно найти такие комбинации диагоналей, где одна диагональ равна сумме двух других. В итоге, существует правильный \(n\)-угольник, удовлетворяющий этому условию. Существование таких \(n\)-угольников подтверждается расчетами для различных значений \(n\).
