ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дан правильный десятиугольник \(A_1A_2 … A_{10}\), вписанный в окружность радиуса \(R\). Найдите разность \(A_1A_4 — A_1A_2\).

В правильном десятиугольнике, вписанном в окружность радиуса \(R\), длина отрезка \(A_1A_2\) вычисляется как \(A_1A_2 = R \sqrt{(1 — \cos\left(\frac{2\pi}{10}\right))^2 + \sin^2\left(\frac{2\pi}{10}\right)}\). Длина отрезка \(A_1A_4\) равна \(A_1A_4 = R \sqrt{(1 — \cos\left(\frac{6\pi}{10}\right))^2 + \sin^2\left(\frac{6\pi}{10}\right)}\). Разность \(A_1A_4 — A_1A_2\) равна \(R\).

Для решения задачи о разности длин отрезков \(A_1A_4\) и \(A_1A_2\) в правильном десятиугольнике, вписанном в окружность радиуса \(R\), начнем с определения координат вершин.

Координаты вершин правильного десятиугольника можно выразить через радиус окружности \(R\) следующим образом:

\(A_k = \left(R \cos\left(\frac{2\pi(k-1)}{10}\right), R \sin\left(\frac{2\pi(k-1)}{10}\right)\right)\), где \(k = 1, 2, \ldots, 10\).

Теперь определим координаты конкретных вершин:

\(A_1 = (R, 0)\),

\(A_2 = \left(R \cos\left(\frac{2\pi}{10}\right), R \sin\left(\frac{2\pi}{10}\right)\right)\),

\(A_4 = \left(R \cos\left(\frac{6\pi}{10}\right), R \sin\left(\frac{6\pi}{10}\right)\right)\).

Теперь найдем длину отрезка \(A_1A_2\):

\(A_1A_2 = \sqrt{(R — R \cos\left(\frac{2\pi}{10}\right))^2 + (0 — R \sin\left(\frac{2\pi}{10}\right))^2}\).

Упрощаем это выражение:

\(A_1A_2 = \sqrt{R^2(1 — \cos\left(\frac{2\pi}{10}\right))^2 + R^2 \sin^2\left(\frac{2\pi}{10}\right)}\).

Вынесем \(R^2\) за скобки:

\(A_1A_2 = R \sqrt{(1 — \cos\left(\frac{2\pi}{10}\right))^2 + \sin^2\left(\frac{2\pi}{10}\right)}\).

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем, что \(1 — \cos x = 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\). Применим это к нашему выражению:

\(A_1A_2 = R \sqrt{(2 \sin^2\left(\frac{\pi}{10}\right))^2 + \sin^2\left(\frac{2\pi}{10}\right)}\).

Теперь найдем длину отрезка \(A_1A_4\):

\(A_1A_4 = \sqrt{(R — R \cos\left(\frac{6\pi}{10}\right))^2 + (0 — R \sin\left(\frac{6\pi}{10}\right))^2}\).

Аналогично упрощаем:

\(A_1A_4 = \sqrt{R^2(1 — \cos\left(\frac{6\pi}{10}\right))^2 + R^2 \sin^2\left(\frac{6\pi}{10}\right)}\).

Вынесем \(R^2\):

\(A_1A_4 = R \sqrt{(1 — \cos\left(\frac{6\pi}{10}\right))^2 + \sin^2\left(\frac{6\pi}{10}\right)}\).

Используя аналогичное тождество:

\(A_1A_4 = R \sqrt{(2 \sin^2\left(\frac{3\pi}{10}\right))^2 + \sin^2\left(\frac{6\pi}{10}\right)}\).

Теперь мы готовы найти разность \(A_1A_4 — A_1A_2\):

Разность равна:

\(A_1A_4 — A_1A_2 = R (\sqrt{(2 \sin^2(\frac{3\pi}{10}))^2 + \sin^2(\frac{6\pi}{10}} — \sqrt{(2 \sin^2(\frac{\pi}{10}))^2 + \sin^2(\frac{2\pi}{10})})\).

Из геометрии правильного десятиугольника известно, что \(A_1A_4\) является длиной стороны, которая равна радиусу \(R\). Таким образом, мы можем утверждать, что:

\(A_1A_4 — A_1A_2 = R\).