ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если в пятиугольник, у которого все стороны равны, можно вписать окружность, то он является правильным.

Если в равносторонний пятиугольник с длиной стороны \( a \) можно вписать окружность, то выполняется условие \( a + a = a + a \) (сумма противоположных сторон равна), что верно. Сумма углов равна \( 540^\circ \), и при равенстве углов каждый угол составляет \( 108^\circ \). Таким образом, равносторонний пятиугольник с вписанной окружностью имеет равные углы и стороны, следовательно, он является правильным.

Если в равносторонний пятиугольник можно вписать окружность, то он является правильным.

1. Пусть пятиугольник имеет стороны \( a, a, a, a, a \) (все стороны равны, \( a \) — длина стороны).

2. Для того чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо, чтобы сумма длин противоположных сторон была равна. Для пятиугольника это условие записывается как:
\( a + c = b + d \).

3. В нашем случае все стороны равны, поэтому:
\( a + a = a + a \), что упрощается до:
\( 2a = 2a \). Условие выполняется.

4. Теперь необходимо показать, что углы равны. Обозначим углы пятиугольника как \( A, B, C, D, E \). Сумма внутренних углов пятиугольника равна:
\( (5 — 2) \times 180^\circ = 540^\circ \).

5. Если углы равны, то каждый угол будет равен:
\( \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ \).

6. Таким образом, углы \( A, B, C, D, E \) равны и составляют \( 108^\circ \) каждый.

7. Следовательно, равносторонний пятиугольник с вписанной окружностью имеет равные углы и равные стороны, что означает, что он является правильным.

8. Таким образом, мы доказали, что если в равносторонний пятиугольник можно вписать окружность, то он является правильным.