ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет \(\frac{1}{9}\) угла многоугольника?
Угол многоугольника обозначим как . Угол, смежный с углом многоугольника, составляет , и их сумма равна . То есть, , что даёт . Для правильного многоугольника угол на вершине равен , где — количество сторон. Подставив в это выражение, решаем уравнение , получаем . Следовательно, правильный многоугольник имеет 20 сторон.
Для нахождения количества сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет угла многоугольника, предположим, что угол многоугольника равен . Угол, смежный с этим углом, составит . Сумма этих двух углов на одной вершине правильного многоугольника равна , так как это смежные углы. Таким образом, мы можем записать уравнение:
Чтобы решить это уравнение, приведем все члены к общему знаменателю:
Теперь, объединяя дроби, получаем:
Умножим обе стороны уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
Теперь разделим обе стороны на 10:
Таким образом, угол многоугольника . Теперь, зная угол многоугольника, можем найти количество его сторон. Для правильного многоугольника угол на каждой вершине равен:
где — количество сторон многоугольника. Подставим в это выражение:
Умножим обе стороны уравнения на , чтобы избавиться от дроби:
Раскроем скобки:
Теперь перенесем все члены с на одну сторону:
Упростим:
Теперь разделим обе стороны на 18:
Ответ: многоугольник имеет 20 сторон.