ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.40 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если в пятиугольник, у которого все углы равны, можно вписать окружность, то он является правильным

Пусть \( ABCDE \) — пятиугольник с равными углами \( \alpha \). Сумма углов: \( 5\alpha = 540^\circ \), значит \( \alpha = 108^\circ \). Если вписана окружность, то выполняется условие: \( a + c = b + d + e \). При равных углах и симметрии, если \( a \neq b \), равенство нарушается. Следовательно, все стороны равны, что делает пятиугольник правильным. Таким образом, если в пятиугольник с равными углами можно вписать окружность, он является правильным.

Пусть \( ABCDE \) — пятиугольник с равными углами, обозначим угол каждого из пяти углов как \( \alpha \). Сумма углов в любом пятиугольнике равна \( 540^\circ \). Таким образом, мы можем записать уравнение:

\( 5\alpha = 540^\circ \)

Отсюда находим:

\( \alpha = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ \)

Теперь предположим, что в этот пятиугольник можно вписать окружность. Это значит, что сумма длин отрезков, проведенных от центра окружности до точек касания на каждой стороне, равна длине каждой стороны. Обозначим длины сторон пятиугольника как \( a, b, c, d, e \). Для пятиугольника с вписанной окружностью выполняется следующее условие:

\( a + c = b + d + e \)

Поскольку все углы равны и пятиугольник симметричен относительно центра вписанной окружности, это означает, что если одна сторона больше другой, то это нарушает равенство сумм длин сторон.

Пусть \( a = b = c = d = e \). Тогда:

\( a + c = b + d + e \) становится

\( a + a = a + a + a \)

что упрощается до:

\( 2a = 3a \)

Это возможно только в случае, если \( a = 0 \), что не имеет смысла. Следовательно, все стороны должны быть равны, иначе не получится сохранить равенство сумм длин сторон.

Таким образом, если углы равны и пятиугольник симметричен, то он обязательно является правильным. Все стороны равны, и углы равны, что соответствует определению правильного пятиугольника.

Таким образом, мы доказали, что если в пятиугольник с равными углами можно вписать окружность, то он является правильным пятиугольником.